標本調査

標本調査 ― 一部を調べて全体を推定する

まず、身近なところから

テレビの視聴率は、全国の全世帯に聞いているわけではない。数千世帯だけ調べて「全国ではこれくらい」と 推定 している。
みそ汁の味見も同じ。鍋全体を飲まなくても、ひとさじで味がわかる。
全部を調べずに 一部から全体を知る 方法が 標本調査。

全数調査と標本調査

標本調査を選ぶのは、

• 全部調べると 時間・費用がかかりすぎる（全国の世帯）
• 調べると 商品が使えなくなる（缶詰を開ける、電球の寿命を測る）

とき。逆に、一人ひとりを正確に知る必要があるもの（健康診断）は全数調査。

ことば

 母集団（調べたい全体）        標本（取り出した一部）
 ┌─────────────────┐
 │ ● ● ● ● ● ● ● ● │   取り出す    ┌───────┐
 │ ● ● ● ● ● ● ● ● │  ────────▶   │ ● ● ● │  標本の大きさ = 3
 │ ● ● ● ● ● ● ● ● │              └───────┘
 └─────────────────┘

• 母集団: 調べたい対象の全体
• 標本: 取り出した一部。その個数が 標本の大きさ
• 無作為抽出: 母集団のどの要素も 同じ確率で選ばれる ように取り出すこと

無作為抽出 ― かたよらない選び方

「仲のよい人だけ」「出席番号の早い順」「部活の部員だけ」は かたよる。特定のグループの意見しか集まらない。
乱数さい、くじ、乱数表、コンピュータの乱数 で選ぶと、全員が同じ確率で選ばれる。
かたよった標本から推定しても、全体の姿は見えない。

推定の方法 ― 標本の割合 ≒ 母集団の割合

例 1　生徒 3000 人から無作為に 100 人選んだら 12 人が眼鏡。全体では？
標本の割合 = 12 ÷ 100 = 0.12。母集団も同じ割合と考えて 3000 × 0.12 = 約 360 人

 標本:  100 人 中 12 人    → 割合 0.12
 母集団: 3000 人 中 ? 人   → 3000 × 0.12 = 360

例 2　標本 50 個のうち 3 個が不良品。不良品の割合は？ → 3 ÷ 50 × 100 = 6%

標識再捕獲法 ― 数えられないものを数える

池の魚は全部つかまえられない。そこで

1. 100 匹つかまえて 印をつけて 池に戻す
2. 後日 50 匹つかまえたら、印つきが 5 匹だった

池全体を x 匹とすると、「全体に対する印つきの割合」と「2 回目の標本に対する印つきの割合」が等しい:
$$x:100=50:5\Rightarrow x=\frac{100\times 50}{5}=1000$$
約 1000 匹。

推定値は「約」

標本調査の答えは およその値。標本が大きいほど推定は正確になるが、ぴったりにはならない。だから「約 360 人」「約 1000 匹」と言う。

練習してみよう

1. 2000 人から 50 人調べて 8 人が自転車通学。全体では？ → 2000 × 8 ÷ 50 = 320
2. 魚 100 匹に印、後日 100 匹中 印つき 4 匹 → x : 100 = 100 : 4 → 2500
3. 「缶詰の品質検査」は？ → 標本調査（開けると売れない）
4. 無作為抽出として適切なのは？ → 乱数さいやくじで選ぶ
5. 標本 80 個中 4 個が不良品。割合は何 %？ → 5

よくある間違い

• × 「多く集めればかたよっていてもよい」→ 数より 選び方。無作為でないと意味がない
• × 推定で標本の人数（12 人）をそのまま答える → 割合を 母集団にかける
• × 標識再捕獲で 100 + 50 = 150 とする → 比 で考える
• × 健康診断を標本調査にする → 一人ひとりが必要なので 全数調査

練習の前に

推定、標識再捕獲、調査の種類（4 択）、無作為抽出（4 択）、不良品の割合（%）が 20 問。数は整数か小数。
「標本の割合 = 母集団の割合」の式を立ててから計算する。