三平方の定理 | 数学学習サイト

三平方の定理 ― 直角三角形の 3 辺の関係

まず、身近なところから

たて 3 m、よこ 4 m の部屋の対角線は何 m？メジャーで測ると 5 m。
たて 5、よこ 12 なら対角線は 13。ばらばらに見えるが、3² + 4² = 5²、5² + 12² = 13² という関係がある。
直角三角形なら必ずこの関係が成り立つ。これが 三平方の定理（ピタゴラスの定理）。

定理

直角をはさむ 2 辺を a、b、斜辺（直角の向かいの、いちばん長い辺）を c とすると

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

        ╱│
    c  ╱ │ a
      ╱  │
     ╱───┘
       b        a² + b² = c²

なぜ成り立つ？各辺を 1 辺とする正方形を描くと、小さい 2 つの正方形の面積の和が、大きい正方形の面積とぴったり同じになる（面積 9 + 16 = 25）。

辺を求める

例 1: 斜辺　a = 3、b = 4 → c² = 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5
例 2: 直角をはさむ辺　c = 13、a = 5 → b² = 169 − 25 = 144 → b = 12
（斜辺の 2 乗からひく。たすのは斜辺を求めるときだけ）

よく出る整数の組（ピタゴラス数）

a	b	c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25

これらを何倍かした (6, 8, 10)、(9, 12, 15) も直角三角形。覚えておくと計算が一瞬で終わる。

定理の逆 ― 直角三角形かどうかの判定

3 辺が a² + b² = c² を満たせば 直角三角形（c がいちばん長い辺）。
例 3　3 辺が 6、8、10 → 36 + 64 = 100 = 10² → 直角三角形
例 4　3 辺が 3、4、6 → 9 + 16 = 25 ≠ 36 → 直角三角形でない

特別な直角三角形

正方形の対角線（45°-45°-90°）: 1 辺 a → 対角線² = a² + a² = 2a² → 対角線 = a√2

 ┌────┐
 │  ╱ │  1 辺 a
 │╱   │  対角線 a√2
 └────┘

正三角形の高さ（30°-60°-90°）: 1 辺 a → 高さ = $\frac{3}{2}$ a。辺の比は 1 : 2 : √3。

座標平面での 2 点間の距離

2 点 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) の距離は、x の差と y の差を直角をはさむ 2 辺とする直角三角形の斜辺。

$距離 = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

例 5　(1, 2) と (4, 6) → x の差 3、y の差 4 → √(9 + 16) = 5

        (4, 6)
       ╱│
      ╱ │ 4
     ╱  │
 (1,2)──┘
      3

空間図形への応用

直方体（a × b × c）の対角線 = √(a² + b² + c²)。三平方を 2 回使う（底面の対角線 → それと高さ）。

練習してみよう

直角をはさむ 2 辺が 8、15 → 斜辺 √(64 + 225) = √289 = 17
斜辺 25、他の 1 辺 7 → √(625 − 49) = √576 = 24
1 辺 6 の正方形の対角線 → 6√2（a = 6）
(−2, 1) と (3, 13) の距離 → 差 5、12 → 13
たて 9、よこ 12 の長方形の対角線 → 15
3 辺 5、12、14 → 25 + 144 = 169 ≠ 196 → 直角三角形でない

よくある間違い

× 直角をはさむ辺を求めるのに 2 乗をたす → 斜辺² からひく
× 斜辺を「わかっている辺の長い方」と決める → 斜辺は 直角の向かい（問題文で確認）
× √25 を 25 のまま答える → √ を外して 5
× 判定で c を最長辺にしない → いちばん長い辺 を c にして確かめる

練習の前に

斜辺、他の辺、正方形の対角線の係数、2 点間の距離、長方形の対角線、直角三角形かどうか（4 択）が 20 問。答えは整数。
「斜辺ならたす、それ以外ならひく」、最後に √ を外す。