円周角 ― 円の弧を「見る角度」
まず、身近なところから
サッカーのゴールを、ピッチ上のいろいろな場所から見る。ゴールの両端を見込む角度は、場所によって変わる。
ところが、ある円の上 を動く限り、その角度は どこから見ても同じ になる。これが円周角の定理。
ことば
P ← 円周上の点
╱╲
╱ ╲ ∠APB = 円周角
╱ ╲
╱ O ╲ ∠AOB = 中心角
╱ ╱ ╲ ╲
A ─╱───╲── B
弧 AB- 弧 AB の両端を、円周上の点 P から見た角 ∠APB を 円周角
- 中心 O から見た角 ∠AOB を 中心角
円周角の定理
- 円周角 = 中心角 ÷ 2
- 同じ弧に対する円周角はすべて等しい（P をどこに動かしても同じ）
- 円周角は 弧の長さに比例 する（弧が 2 倍なら円周角も 2 倍）
なぜ半分？ O と P を結ぶと、△OAP と △OBP は半径 2 本の二等辺三角形。底角が等しいので、外角の関係から ∠AOB = 2 × ∠APB になる。
例 1 中心角 80° → 円周角 40°
例 2 円周角 35° → 中心角 70°
例 3 ∠APB = 50° のとき、同じ弧 AB を見る別の点 Q の ∠AQB → 50°
例 4 弧 AB の円周角が 20°。弧 AB の 3 倍の長さの弧の円周角 → 60°
直径と円周角 ― 必ず 90°
AB が 直径 なら、弧 AB の中心角は 180°（半円）。だから円周角は 90°。
P
╱│╲
╱ │ ╲ ∠APB = 90°
╱ │ ╲
A───O───B ← AB は直径例 5 AB が直径、∠PAB = 35° → ∠APB = 90° なので ∠PBA = 180 − 90 − 35 = 55°
「直径」と見たら 90° を思い出す。逆に、円周角が 90° なら AB は直径。
円に内接する四角形 ― 向かい合う角の和は 180°
4 つの頂点がすべて円周上にある四角形 ABCD では ∠A + ∠C = 180°、∠B + ∠D = 180°。
理由: ∠A は弧 BCD の円周角、∠C は弧 DAB の円周角。2 つの弧を合わせると円 1 周（中心角 360°）なので、円周角の和は 180°。
例 6 ∠A = 110° → ∠C = 70°
定理の逆 ― 4 点が同じ円の上にあるか
4 点 A、B、P、Q で ∠APB = ∠AQB なら、4 点は同じ円周上にある。
「等しい角を見つけたら円が隠れている」というのが証明でよく使う発想。
練習してみよう
- 中心角 130° → 円周角 65°
- 円周角 42° → 中心角 84°
- 同じ弧に対する円周角、一方が 58° → もう一方 58°
- AB が直径、∠PAB = 20° → ∠PBA = 70°
- 内接四角形で ∠A = 95° → ∠C = 85°
- 弧の円周角が 15°、弧が 4 倍 → 60°
よくある間違い
- × 円周角 = 中心角 × 2 → 円周角は 中心角の半分
- × 直径の問題で ∠APB を忘れて 180 − 35 = 145 → まず ∠APB = 90°
- × 内接四角形で「となりの角の和」を 180° にする → 向かい合う角（対角）の和
- × 弧が 2 倍なら中心角・円周角が 2 乗になると思う → 比例（2 倍）
練習の前に
中心角 ↔ 円周角、同じ弧、直径、内接四角形、弧の長さの比が 20 問。答えは整数（° は書かない）。
図を描いて「どの弧を見ている角か」を確認してから計算する。