相似 ― 形が同じで大きさが違う
まず、身近なところから
地図と実際の町、写真とそのプリント、模型と本物の車。形は同じで大きさだけ違う 図形を 相似 という（記号 ∽）。
小 6 の拡大図・縮図の発展版。中 3 では「相似だと言える条件」と「辺・面積・体積がどう変わるか」を学ぶ。
相似な図形の性質
△ABC ∽ △DEF なら
- 対応する角は等しい（∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F）
- 対応する辺の比はすべて等しい（AB : DE = BC : EF = CA : FD）。この比を 相似比 という
A D
╱╲ ╱╲
╱ ╲ ╱ ╲
╱ ╲ ╱ ╲
B──────C ╱ ╲
4 cm E────────F
8 cm → 相似比 1 : 2例 1 AB = 4、DE = 8 なら相似比 1 : 2。BC = 5 なら EF = 5 × 2 = 10
三角形の相似条件
合同条件と似ているが、「等しい」が「比が等しい」になる。
① 3 組の辺の比 がすべて等しい
② 2 組の辺の比 と その間の角 がそれぞれ等しい
③ 2 組の角 がそれぞれ等しい ← いちばんよく使う③ は角 2 つだけでよい（3 つ目は 180° から自動で決まる）。証明問題のほとんどはこれ。
平行線と線分の比
△ABC で DE ∥ BC のとき、△ADE ∽ △ABC（③ 同位角で 2 組の角が等しい）。
A
╱╲
╱ ╲
D────E ← DE ∥ BC
╱ ╲
B────────C
AD : DB = AE : EC
AD : AB = DE : BC例 2 AD : DB = 2 : 3、AE = 4 cm → 2 : 3 = 4 : EC → EC = 6 cm
中点連結定理
△ABC の 2 辺 AB、AC の 中点 M、N を結ぶと
MN ∥ BC、MN = BC ÷ 2
上の平行線の比で AD : AB = 1 : 2 の特別な場合。
例 3 BC = 12 cm → MN = 6 cm
面積比・体積比 ― 相似比の 2 乗・3 乗
相似比 1 : k のとき
| 量 | 比 | 理由 |
|---|---|---|
| 長さ | 1 : k | 定義 |
| 面積 | 1 : k² | たて × よこ、両方 k 倍 |
| 体積 | 1 : k³ | たて × よこ × 高さ、3 回 k 倍 |
相似比 1 : 2 の正方形
┌─┐ ┌─┬─┐
└─┘ ├─┼─┤ ← 小さい正方形 4 個分（2² = 4）
└─┴─┘例 4 相似比 1 : 3、小さい方の面積 5 cm² → 大きい方は 5 × 9 = 45 cm²
例 5 相似比 1 : 2、小さい方の体積 7 cm³ → 大きい方は 7 × 8 = 56 cm³
練習してみよう
- △ABC ∽ △DEF、AB = 3、DE = 9、BC = 4 → 相似比 1 : 3 → EF = 12
- 相似比 1 : 4 の図形、小さい方の面積 3 → 3 × 16 = 48
- 相似比 1 : 3 の立体、小さい方の体積 2 → 2 × 27 = 54
- BC = 20 の △ABC で AB、AC の中点を結ぶ → MN = 10
- DE ∥ BC、AD : DB = 3 : 1、AE = 9 → EC = 3
- ∠A = ∠D、∠B = ∠E → 2 組の角がそれぞれ等しい
よくある間違い
- × 面積比を相似比と同じ 1 : 3 にする → 面積は 2 乗 で 1 : 9
- × 体積比を 2 乗にする → 体積は 3 乗
- × AD : DB と AD : AB を混同する → DB は「残り」、AB は「全体」。図で確認
- × 相似条件で「1 組の辺と 1 つの角」を選ぶ → そんな条件はない。2 組の角 が基本
練習の前に
対応する辺、面積比、体積比、中点連結定理、平行線と比、相似条件（4 択）が 20 問。答えは整数。
まず相似比を出し、「長さは 1 乗・面積は 2 乗・体積は 3 乗」。