関数 y=ax²

関数 y = ax² ― 2 乗に比例する関数と放物線

まず、身近なところから

ボールを高いところから落とす。1 秒で 5 m、2 秒で 20 m、3 秒で 45 m 落ちる。
時間が 2 倍で距離は 4 倍、3 倍で 9 倍。距離は時間の 2 乗に比例 している: y = 5x²。
このように y = ax² の形の関数を学ぶのがこの単元。グラフは 放物線（ボールを投げたときの軌道の形）。

表とグラフ

y = x² の表:

  y
 9│●               ●
  │
 4│    ●       ●
 1│       ●  ●
 0└─────────●──────── x
   −3 −2 −1 0 1 2 3

• 原点 (0, 0) が頂点。y 軸について 左右対称（x と −x で y が同じ）
• a > 0 → 上に開く（下に凸）。x = 0 で最小値 0
• a < 0 → 下に開く（上に凸）。x = 0 で最大値 0
• |a| が大きいほど 細く、小さいほど広がる

a の求め方 ― 1 点を代入

例 1　y = ax² が点 (2, 12) を通る
12 = a × 2² = 4a → a = 3。式は y = 3x²

例 2　y = −2x² で x = 3 のとき y → −2 × 9 = −18
（x = −3 でも同じ −18。左右対称だから）

変化の割合 ― 一次関数と違って一定ではない

一次関数では変化の割合 = 傾きで一定だった。y = ax² では 区間によって変わる。

$$\text{変化の割合}=\frac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$$

例 3　y = 2x² で x が 1 から 3 まで増えるとき
y は 2 → 18 で +16、x は +2 → 16 ÷ 2 = 8

便利な公式: y = ax² で x が p から q まで変わるときの変化の割合は a(p + q)。
2 × (1 + 3) = 8 ✓。理由: $\frac{a{q}^2-a{p}^2}{q-p}=\frac{a(q-p)(q+p)}{q-p}=a(p+q)$

変域 ― x の範囲が決まっているときの y の範囲

例 4　y = x² で −2 ≦ x ≦ 3 のとき y の変域
グラフで見ると、x = 0 が範囲に 含まれる ので最小値は 0。
最大値は 0 から 遠い方 の端: x = 3 で y = 9（x = −2 では 4）。→ 0 ≦ y ≦ 9

  y
 9│          ●  ← x = 3（0 から遠い方）
  │
 4│   ●         ← x = −2
 0└─────●────── x
      −2 0   3

端の値を両方計算して「大きい方が最大」ではない点に注意。0 を含めば最小は 0。

練習してみよう

1. y = ax² が (3, 18) を通る → 18 = 9a → a = 2
2. y = −3x² で x = −2 → −3 × 4 = −12
3. y = x² で x が 2 から 5 までの変化の割合 → 1 × (2 + 5) = 7
4. y = 2x² で −3 ≦ x ≦ 1 のとき最大値 → 0 から遠いのは x = −3 → 2 × 9 = 18
5. y = −x² のグラフの形 → 下に開いた放物線（上に凸）

よくある間違い

• × y = −2x² で x = 3 のとき −2 × 3 = −6 → 先に 2 乗。−2 × 9 = −18
• × (−3)² を −9 とする → (−3)² = 9。負の数はかっこごと 2 乗
• × 変化の割合を「a」と答える → y = ax² では一定でない。a(p + q)
• × 変域で端の 2 つだけ見て最小値を 4 にする → 0 を含めば 最小値 0

練習の前に

a の値、y の値、変化の割合、最大値、グラフの形（4 択）が 20 問。答えは整数。
「まず 2 乗、それから a をかける」の順番を守る。