二次方程式 | 数学学習サイト

二次方程式 ― x² が出てくる方程式

まず、身近なところから

正方形の花だんの 1 辺を 2 m 長くしたら、面積が 25 m² になった。元の 1 辺は？
元の 1 辺を x とすると (x + 2)² = 25。これは x² を含む方程式 = 二次方程式。
一次方程式と違って、解が 2 つ あることが多い（(x + 2)² = 25 なら x + 2 = ±5 → x = 3 または −7。長さなので 3 m）。

解き方 1: 因数分解 ― 「AB = 0 なら A = 0 か B = 0」

例 1: x² − 5x + 6 = 0
左辺を因数分解: (x − 2)(x − 3) = 0
かけて 0 になるなら、どちらかが 0: x − 2 = 0 または x − 3 = 0 → x = 2, 3

 (x − 2)(x − 3) = 0
   ↓          ↓
 x = 2   または  x = 3

因数分解で (x − 2)(x − 3) と出たら、解は 符号を変えた 2 と 3。

例 2: x² + 6x + 9 = 0
(x + 3)² = 0 → x + 3 = 0 → x = −3（解が 1 つ。これを重解という）

解き方 2: 平方根 ― 「2 乗 = 数」の形

例 3: x² = 16
2 乗して 16 になる数 → x = ±√16 = ±4（正の解は 4）

例 4: (x + 2)² = 9
x + 2 を 1 つのかたまりと見る: x + 2 = ±3
x = −2 + 3 = 1、x = −2 − 3 = −5（大きい方は 1）

解き方 3: 解の公式 ― 因数分解できないとき

ax² + bx + c = 0 の解は
$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

例 5: x² + 3x + 1 = 0
a = 1、b = 3、c = 1 → $x = \frac{- 3 \pm 9 - 4}{2} = \frac{- 3 \pm 5}{2}$
√ が残る解になる。因数分解が見つからないときの最後の手段。

解と係数の関係 ― 解の和と積

x² + px + q = 0 の 2 つの解を α、β とすると

α + β = −p（x の係数の符号を変えたもの）
αβ = q（定数項）

例 6　x² − 5x + 6 = 0 の解 2 と 3 → 和 5 = −(−5) ✓、積 6 ✓
「2 つの解の和は？」と聞かれたら、解かずに x の係数から答えられる。

手順のまとめ

 x² = 数、(x + a)² = 数 の形 → 平方根（± を忘れない）
 x² + □x + △ = 0            → 因数分解 → 各因数 = 0
 因数分解できない            → 解の公式

練習してみよう

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$ → (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3, 4（大きい方 4）
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$ → (x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4, 2（小さい方 −4）
$x^{2} - 8 x + 16 = 0$ → (x − 4)² = 0 → x = 4（重解）
$x^{2} = 49$ の正の解 → 7
$(x - 1)^{2} = 16$ の大きい方 → x − 1 = ±4 → x = 5, −3 → 5
$x^{2} + 3 x - 10 = 0$ の解の和 → −3

よくある間違い

× (x − 2)(x − 3) = 0 の解を x = −2, −3 とする → 各因数 = 0 にして x = 2, 3
× x² = 16 の解を 4 だけにする → ±4（問題が「正の解」と言えば 4）
× 解の和を x の係数そのまま（−5）にする → 符号を変えて +5
× 両辺を x でわって解を 1 つ失う（x² = 3x → x = 3）→ 移項して x(x − 3) = 0、x = 0, 3

練習の前に

因数分解で解く（大きい方／小さい方の解）、重解、x² = k の正の解、(x + a)² = k の大きい方の解、解の和が 20 問。答えは整数。
まず「左辺 = 0 の形」にしてから因数分解。