平方根

平方根 ― 「2 乗すると a になる数」

まず、身近なところから

面積 9 cm² の正方形の 1 辺は 3 cm（3 × 3 = 9）。では面積 2 cm² の正方形の 1 辺は？
1.4 × 1.4 = 1.96、1.41 × 1.41 = 1.9881、1.414 × 1.414 = 1.999…。ぴったりの数が書けない。
そこで「2 乗すると 2 になる数」に √2（ルート 2）という名前をつける。これが 平方根。

ことば

• a の 平方根 = 2 乗すると a になる数。9 の平方根は 3 と −3（2 つある）
• そのうち正の方を √a と書く。√9 = 3、√2 = 1.414…
• √a は「2 乗すると a になる正の数」だから (√a)² = a。(√2)² = 2、(√7)² = 7
• √(a²) = a（a > 0）。√25 = √(5²) = 5

   2乗
 3 ──→ 9
 3 ←── 9
   √

√ は「2 乗の逆」の記号。

大小 ― 中身で比べる

a < b なら √a < √b。3 と √10 はどちらが大きい？
3 = √9 と書き直す。√9 < √10 だから √10 の方が大きい。
整数を √ の形にそろえてから中身を比べる。

√ を簡単にする ― 2 乗の数を外に出す

√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3
中身を「2 乗の数 × 残り」に分ける。2 乗の数は √ の外に出られる。

例 1　√50 = √(25 × 2) = 5√2
例 2　√72 = √(36 × 2) = 6√2
（√72 = √(4 × 18) = 2√18 は途中。18 = 9 × 2 でさらに 2 × 3√2 = 6√2）

かけ算・わり算

√a × √b = √(ab)、√a ÷ √b = √(a/b)。中身どうしを計算してよい。

例 3　√3 × √12 = √36 = 6
例 4　√2 × √8 = √16 = 4

有理化 ― 分母に √ を残さない

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ のように分母に √ があると、値がわかりにくい（1 ÷ 1.414… の計算は面倒）。
分母と分子に同じ √ をかける と分母が整数になる。

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

分母 √2 × √2 = 2。これを 有理化 という。
例 5　$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$（分母は 5）

たし算・ひき算 ― 同じ √ の項だけまとめる

3√2 + 2√2 = 5√2。√2 を「文字 x」と思えば 3x + 2x = 5x と同じ。
√2 + √3 は まとめられない（x + y と同じ）。
√12 + √3 は、√12 = 2√3 にしてから 2√3 + √3 = 3√3。

練習してみよう

1. √18 = a√2 の a → 18 = 9 × 2 → 3
2. √144 → 12
3. (√11)² → 11
4. √5 × √20 → √100 = 10
5. $\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{b}$ の b → 3
6. 4 と √17、大きいのは → 4 = √16 < √17 → √17
7. 5√3 + 2√3 = c√3 の c → 7

よくある間違い

• × 9 の平方根は 3 だけ → 3 と −3。√9 は 3 だけ
• × √12 = 2√6 → 12 = 4 × 3。2√3（4 が 2 乗の数）
• × √2 + √3 = √5 → たし算は中身をたせない。まとめられない
• × 有理化で分子に √ をかけ忘れる → 分母と分子 両方 にかける

練習の前に

√ を簡単にしたときの係数、√(n²)、(√n)²、√ の積、有理化の分母、大小（4 択）、加減の係数が 20 問。答えは整数。
「中身を 2 乗の数 × 残り に分ける」が基本動作。