因数分解

因数分解 ― 展開の逆、「かけ算の形」に戻す

まず、身近なところから

面積が x² + 5x + 6 の長方形。たてとよこは？
展開の単元で (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6 を見た。逆にたどれば、たて (x + 2)・よこ (x + 3)。
多項式を 積の形 に戻すことを 因数分解 という。二次方程式を解くときの主役になる。

 展開    →
 (x + 2)(x + 3)   ⇄   x² + 5x + 6
          ←  因数分解

手順 1: 共通因数をくくり出す

すべての項に共通する部分があれば、まず前に出す。

例 1: 6x² + 4x
6x² = 2x · 3x、4x = 2x · 2。共通するのは 2x → 2x(3x + 2)
（展開して確かめ: 2x · 3x + 2x · 2 = 6x² + 4x ✓）

手順 2: 公式に当てはめる（展開の公式を逆に読む）

① 「積が定数項、和が x の係数」の 2 数を探す

例 2: x² + 5x + 6
積が 6、和が 5 になる 2 数 → 1 と 6（和 7）✕、2 と 3（和 5）○ → (x + 2)(x + 3)

例 3: x² − x − 12
積が −12（負 → 2 数の符号が違う）、和が −1。
候補: (1, −12)(−1, 12)(2, −6)(−2, 6)(3, −4)(−3, 4)。和が −1 は 3 と −4 → (x + 3)(x − 4)

 探し方: 積になるペアを書き出し → 和が合うものを選ぶ
 積 −12: 1·(−12), 2·(−6), 3·(−4), (−1)·12, (−2)·6, (−3)·4
 和 −1 :   −11     −4      −1 ←これ

②③ 定数項が 2 乗の数なら、まん中を確認

例 4: x² + 6x + 9
9 = 3²。まん中が 2 × 3 = 6 と一致 → (x + 3)²
例 5: x² − 10x + 25
25 = 5²、まん中 −10 = −2 × 5 → (x − 5)²

④ 「x² − 数²」はまん中がない

例 6: x² − 25
25 = 5² → (x + 5)(x − 5)

全体の流れ

 1. 共通因数があればくくり出す
 2. 残りが x² + □x + △ の形 → ①②③④ のどれか
 3. 展開して元に戻るか確かめる

練習してみよう

1. $x^2+7x+12$ → 積 12、和 7 → (x + 3)(x + 4)
2. $x^2-2x-15$ → 積 −15、和 −2 → (x + 3)(x − 5)
3. $x^2+8x+16$ → (x + 4)²
4. $x^2-36$ → (x + 6)(x − 6)
5. $8x^2-12x$ → 共通因数 4x → 4x(2x − 3)
6. $x^2+3x-10=(x+p)(x+q)$ の大きい方 → 5 と −2 → 5

よくある間違い

• × x² − x − 12 = (x − 3)(x + 4) → 展開すると +x になる。和が −1 になるのは 3 と −4
• × 6x² + 4x = 2(3x² + 2x) で止まる → x も共通。2x(3x + 2) まで
• × x² + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) を「まちがい」と思う → 同じもの。(x + 3)² と書く
• × x² − 25 = (x − 5)² → 展開すると −10x が出る。(x + 5)(x − 5)

練習の前に

因数分解した形を選ぶ（4 択）、2 数の大きい方、共通因数（4 択）、(x + m)² の m、x² − n² の n が 20 問。数は整数。
迷ったら選択肢を展開して、元の式に戻るものを選ぶ。