多項式の展開

多項式の展開 ― かっこ × かっこをはずす

まず、身近なところから

たて (x + 2) m、よこ (x + 3) m の長方形の面積は (x + 2)(x + 3) m²。
このままでは「x が 5 のとき何 m²？」がすぐ計算できない。かっこをはずして x² + 5x + 6 にすると、代入も比較もしやすい。
かっこをはずして 単項式の和の形 にすることを展開という。

面積の図で見る分配法則

        x        3
    ┌────────┬──────┐
  x │  x²    │  3x  │
    ├────────┼──────┤
  2 │  2x    │  6   │
    └────────┴──────┘

全体の面積 = 4 つの部屋の和 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6。
つまり (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd。前のかっこの各項を、後ろのかっこの各項に 1 つずつ全部かける。

例 1: (2x + 1)(x + 3)
2x · x + 2x · 3 + 1 · x + 1 · 3 = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3

乗法公式 ― よく出る形は暗記して速く

分配法則で毎回 4 つかけてもよいが、次の 4 つの形は 結果を覚える と速くて正確。

公式	形	例
①	(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab	(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
②	(x + a)² = x² + 2ax + a²	(x + 3)² = x² + 6x + 9
③	(x − a)² = x² − 2ax + a²	(x − 3)² = x² − 6x + 9
④	(x + a)(x − a) = x² − a²	(x + 5)(x − 5) = x² − 25

① 和と積

x の係数は「2 数の和」、定数項は「2 数の積」。
例 2: (x − 2)(x + 5)　和 −2 + 5 = 3、積 −2 × 5 = −10 → x² + 3x − 10

②③ 2 乗

まん中は「2 × a × x」。3 の 2 倍で 6x、忘れやすい。
例 3: (x − 4)²　x² − 8x + 16
（x² + 16 としてしまうのが最多のミス。まん中の項を忘れない）

④ 和と差の積

まん中の項が 消える。+ax と −ax が打ち消し合うから。
例 4: (x + 7)(x − 7)　x² − 49

使い分け

 2 つのかっこの数が違う          → ① 和と積
 同じかっこの 2 乗              → ②③
 数が同じで符号だけ違う          → ④ まん中が消える
 x に係数がある (2x + 1)(3x − 2) → 分配法則で 4 つかける

練習してみよう

$(x + 4) (x + 6)$ → 和 10、積 24 → x² + 10x + 24
$(x - 3) (x + 8)$ → 和 5、積 −24 → x² + 5x − 24
$(x + 5)^{2}$ → x² + 10x + 25
$(x - 6)^{2}$ → x² − 12x + 36
$(x + 9) (x - 9)$ → x² − 81
$(3 x + 2) (2 x - 1)$ → 6x² − 3x + 4x − 2 → 6x² + x − 2
$(x - 7) (x + 2)$ の x の係数 → −7 + 2 = −5

よくある間違い

× (x + 3)² = x² + 9 → まん中の 6x を忘れている。x² + 6x + 9
× (x − 2)(x + 5) の和を 2 + 5 = 7 とする → 符号ごと (−2) + 5 = 3
× (x + a)(x − a) で x² + a² → 差の積は x² − a²
× (2x + 1)(x + 3) を 2x² + 3 → 4 つの積を全部たす

練習の前に

乗法公式の展開と、x の係数を答える問題が 20 問。
式は x^2+5x+6 のように入力（^ で 2 乗。項の順番が違っても同値なら正解）。係数は整数。
「和と積」を先に声に出してから書く。