三角形と四角形

三角形と四角形 ― 特別な形には特別な性質がある

まず、身近なところから

屋根の形（二等辺三角形）、ドアや窓（長方形）、伸び縮みする柵（平行四辺形）。
形に 条件がつく と、角や辺に 決まった関係 が生まれる。「2 辺が等しい」だけで「2 角も等しい」と言えるのが、この単元のおもしろさ。

二等辺三角形 ― 2 辺が等しい三角形

        ╱╲  ← 頂角
       ╱  ╲
      ╱    ╲     等しい 2 辺
     ╱      ╲
    ╱────────╲
   底角      底角   ← 等しい

• 等しい 2 辺にはさまれた角が 頂角、残りの 2 つが 底角
• 底角は等しい（定理）。逆に、2 角が等しい三角形は二等辺三角形

なぜ底角が等しい？ 頂角を 2 等分する線で折ると、左右がぴったり重なる（合同）から。

例 1　頂角 40° → 底角は (180 − 40) ÷ 2 = 70°
例 2　底角 65° → 頂角は 180 − 65 × 2 = 50°

直角三角形

直角以外の 2 つの角（鋭角）の和は 90°（180 − 90）。
例 3　1 つの鋭角が 35° → もう 1 つは 90 − 35 = 55°

合同条件は通常の 3 つに加えて「斜辺と 1 つの鋭角」「斜辺と他の 1 辺」が使える。

平行四辺形 ― 2 組の対辺が平行な四角形

    A ────────── D
     ╱          ╱
    ╱     ●    ╱      ● = 対角線の交点
   ╱          ╱
  B ────────── C

性質は 3 つ:

1. 2 組の対辺はそれぞれ等しい（AB = DC、AD = BC）
2. 2 組の対角はそれぞれ等しい（∠A = ∠C、∠B = ∠D）。となり合う角の和は 180°
3. 対角線はそれぞれの中点で交わる

なぜ対角が等しい？ 対角線 AC で 2 つの三角形に分けると、平行線の錯角で角が対応し、△ABC ≡ △CDA になるから。

例 4　1 つの角が 70° → 対角 70°、となりの角 180 − 70 = 110°
例 5　AB = 5 cm、BC = 8 cm → 周の長さ (5 + 8) × 2 = 26 cm

特別な平行四辺形

平行四辺形に条件を足すと、長方形・ひし形・正方形になる。

 平行四辺形 ──角を直角に──▶ 長方形 ──┐
     │                                ├──▶ 正方形
     └────辺を等しく────▶ ひし形 ──┘

「対角線がそれぞれの中点で交わる」はすべての平行四辺形に共通。長方形だけの性質、ひし形だけの性質を区別して覚える。

練習してみよう

1. 頂角 100° の二等辺三角形の底角 → (180 − 100) ÷ 2 = 40°
2. 底角 72° の二等辺三角形の頂角 → 180 − 144 = 36°
3. 平行四辺形の 1 つの角が 115°。となりの角 → 65°
4. 平行四辺形で AB = 7、BC = 4 → 周 22
5. 直角三角形の 1 つの鋭角が 28° → 62°
6. 対角線が垂直に交わるのは？ → ひし形（と正方形）

よくある間違い

• × 頂角 40° の底角を 180 − 40 = 140° とする → 底角は 2 つ あるので ÷ 2 で 70°
• × 平行四辺形のとなりの角を「等しい」とする → となりは 和が 180°、等しいのは 対角
• × 「対角線の長さが等しい」をひし形の性質とする → それは 長方形。ひし形は垂直
• × 周の長さで AB + BC だけ → 対辺が等しいので × 2

練習の前に

二等辺三角形の角、平行四辺形の角・周、四角形の性質（4 択）、直角三角形の角が 20 問。角は整数（° は書かない）。
「等しいのはどこか」を図に印をつけてから計算する。