平行線と角・合同

平行線と角・合同 ― 「等しい」と言い切るための根拠

まず、身近なところから

中 1 では「対頂角は等しい」「平行線の錯角は等しい」を学んだ。中 2 ではそれを 道具として使い、複雑な図の角を求めたり、「2 つの三角形はぴったり重なる（合同）」と 証明 したりする。
「なんとなく同じに見える」ではなく「この理由で等しい」と言えるようになる単元。

角の道具箱（中 1 の復習）

補助線 ― 平行線の間の折れ線

平行な 2 直線 ℓ、m の間で折れ曲がる線の角 x を求める。

 ────────────────── ℓ
        ╲ 30°
         ╲
          ● x         ← 折れ点
         ╱
        ╱ 40°
 ────────────────── m

折れ点を通って ℓ に平行な線をひく（補助線）。すると x は上下 2 つに分かれ、上は ℓ との 錯角 で 30°、下は m との錯角で 40°。
x = 30 + 40 = 70°

補助線は「等しい角を作り出すための線」。平行線と交わる線を見たら、まず錯角・同位角を探す。

多角形の外角

例 1　正八角形の 1 つの外角 → 360 ÷ 8 = 45°
例 2　内角の和が 1080° の多角形は何角形？ → (n − 2) × 180 = 1080 → n − 2 = 6 → 八角形

三角形の合同条件 ― 3 つの情報で決まる

2 つの三角形が ぴったり重なる とき 合同 といい、△ABC ≡ △DEF と書く（対応する頂点の順に）。
6 つの情報（辺 3 つ・角 3 つ）を全部調べなくても、次の 3 つ がわかれば合同と言える。

 ① 3 組の辺 がそれぞれ等しい
    ╱╲       ╱╲
   ╱  ╲     ╱  ╲      3 辺が決まれば形は 1 つ
  ╱────╲   ╱────╲

 ② 2 組の辺と その間の角 がそれぞれ等しい
    ╱╲              角をはさむ 2 辺
   ╱● ╲             → 残りの辺が自動的に決まる
  ╱────╲

 ③ 1 組の辺と その両端の角 がそれぞれ等しい
    ╱╲              辺の両端の角
   ╱  ╲             → 2 本の線の交点が決まる
  ●────●

「間の角」「両端の角」が大事。 「2 組の辺と 1 つの角」でも、その角が間にないと合同とは言えない（別の三角形ができることがある）。

例 3　AB = DE、BC = EF、∠B = ∠E → ∠B は AB と BC の 間の角 → ②
例 4　BC = EF、∠B = ∠E、∠C = ∠F → ∠B と ∠C は BC の 両端 → ③

証明の形

 [仮定]   わかっていること（AB = DE、…）
   ↓
 [根拠]   合同条件・定理（2 組の辺とその間の角が…）
   ↓
 [結論]   △ABC ≡ △DEF、だから ∠A = ∠D

「仮定 → 根拠 → 結論」の順に書く。使う根拠は上の道具箱と合同条件だけ。

練習してみよう

1. 三角形の内角が 35° と 65°。3 つ目の頂点の外角 → 100°
2. 平行線の間の折れ線、ℓ との角 25°、m との角 50° → x = 75°
3. 正十二角形の 1 つの外角 → 360 ÷ 12 = 30°
4. 内角の和が 900° → n − 2 = 5 → 七角形
5. AB = DE、BC = EF、CA = FD → 3 組の辺がそれぞれ等しい

よくある間違い

• × 折れ線の角を 180 − 30 − 40 とする → 補助線をひいて 錯角の和 70°
• × 「2 組の辺と 1 つの角」で合同と言う → 角は 間の角 でないとだめ
• × 内角の和から n を出すとき 1080 ÷ 180 = 6 を答えにする → 6 は n − 2。n = 8
• × △ABC ≡ △EFD のように頂点の順を崩す → 対応する順 に書く

練習の前に

外角、折れ線の角、正多角形の外角、内角の和から何角形か、合同条件（4 択）が 20 問。
角は整数（° は書かない）。合同条件は「どの辺・角がわかっているか」を図に書いてから選ぶ。