一次関数

一次関数 ― y = ax + b、「最初にいくら + 1 につきいくら」

まず、身近なところから

タクシー料金。乗ったときに 500 円、あとは 1 km ごとに 80 円。x km 乗ったときの料金 y 円は
$$y=80x+500$$
「最初に b、そのあと 1 につき a」という関係が 一次関数 y = ax + b。
中 1 の比例 y = ax は、b = 0（最初が 0 円）の特別な場合だった。

ことば

 y = a x + b
     ↑     ↑
   傾き   切片
 （変化の割合） （x = 0 のときの y）

• 傾き a: x が 1 増えると y がいくつ増えるか（= 変化の割合）
• 切片 b: x = 0 のときの y の値。グラフが y 軸と交わる高さ

グラフ ― 直線になる

   y
   │      ╱  y = 2x + 1
   │    ╱
  1├──╱────    ← 切片 1（y 軸との交点）
   │╱
 ──┼──────── x
  ╱│

かき方: 切片 b の点を打ち、そこから右に 1、上に a 進んだ点を打って結ぶ。
a > 0 なら右上がり、a < 0 なら右下がり。

傾きの求め方 ― 2 点から

$$\text{傾き}=\frac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$$

例 1　2 点 (1, 3)、(3, 7) を通る直線の傾き
x が 1 → 3 で +2、y が 3 → 7 で +4。傾き = 4 ÷ 2 = 2
どちらの点を先にしても同じ（(3 − 7) ÷ (1 − 3) = (−4) ÷ (−2) = 2）。

切片の求め方 ― 傾きと 1 点から

例 2　傾き 2 で点 (1, 3) を通る直線の切片
y = 2x + b に (1, 3) を代入: 3 = 2 × 1 + b → b = 1。式は y = 2x + 1。

式の求め方（まとめ）

y の値、x 軸との交点

例 3　y = 2x + 1 で x = −3 のとき → y = 2 × (−3) + 1 = −5

例 4　y = 2x − 6 のグラフが x 軸と交わる点の x 座標
x 軸上は y = 0。0 = 2x − 6 → x = 3

変化の割合 ― x が増えたら y はどれだけ増える？

一次関数では 変化の割合 = 傾き a で一定。
例 5　y = −3x + 2 で x が 4 増えると y は？ → −3 × 4 = −12（12 減る）

練習してみよう

1. 2 点 (−1, 5)、(2, −4) を通る直線の傾き → (−4 − 5) ÷ (2 − (−1)) = −9 ÷ 3 = −3
2. 傾き −3 で (2, −4) を通る直線の切片 → −4 = −6 + b → b = 2
3. y = 4x − 3 で x = 2 → 5
4. y = −2x + 8 が x 軸と交わる x → 0 = −2x + 8 → 4
5. y = 5x − 1 で x が 3 増えると y は → 15 増える

よくある間違い

• × 傾きを x の増加量 ÷ y の増加量で出す → y ÷ x（縦 ÷ 横）
• × 切片を「x 軸との交点」と思う → 切片は y 軸 との交点（x = 0 のときの y）
• × x 軸との交点で x = 0 を代入する → x 軸上は y = 0
• × 負の数の代入でかっこを忘れる → 2 × (−3) = −6

練習の前に

傾き、切片、y の値、x 軸との交点、式（4 択）、y の増加量が 20 問。答えは整数。
「傾き = 縦の変化 ÷ 横の変化」「切片 = x が 0 のときの y」を軸に考える。