連立方程式

連立方程式 ― わからない数が 2 つあるときの解き方

まず、身近なところから

りんごとみかんを合わせて 8 個買って 640 円。りんごは 100 円、みかんは 60 円。それぞれ何個？
わからない数が 2 つ（りんご x 個、みかん y 個）。式も 2 本できる。

 x + y = 8          ← 個数の式
 100x + 60y = 640   ← 代金の式

この 2 本を同時に満たす (x, y) を求めるのが 連立方程式。
1 本の式だけでは (1, 7)、(2, 6)、… と答えが決まらない。2 本あるから 1 組に決まる。

考え方: 文字を 1 つ消して、中 1 の方程式にする

2 文字のままでは解けない。どちらかの文字を消して、x だけ（または y だけ）の方程式にすれば、中 1 のやり方で解ける。
消し方が 2 つある。

加減法 ― 式どうしをたす・ひく

例 1

 ① x + y = 5
 ② x − y = 1

y の係数が +1 と −1。① + ② をすると y が消える:
(x + y) + (x − y) = 5 + 1 → 2x = 6 → x = 3
① に戻して 3 + y = 5 → y = 2。解は (x, y) = (3, 2)。

例 2: 係数がそろっていないとき

 ① 2x + 3y = 8
 ② x + y = 3

x を消したい。② を 2 倍 して係数をそろえる: 2x + 2y = 6 …②′
① − ②′: (2x + 3y) − (2x + 2y) = 8 − 6 → y = 2
② に戻して x + 2 = 3 → x = 1

 加減法の手順
 1. 消したい文字の係数を（何倍かして）そろえる
 2. 符号が同じなら ひく、違うなら たす
 3. 残った文字の方程式を解く
 4. どちらかの式に戻して、もう 1 つの文字を出す

代入法 ― 「y = …」をもう一方に入れる

例 3

 ① y = 2x − 1
 ② 3x + y = 9

① が「y = …」の形。② の y に (2x − 1) をそのまま入れる:
3x + (2x − 1) = 9 → 5x − 1 = 9 → 5x = 10 → x = 2
① に戻して y = 2 × 2 − 1 = 3

一方の式が「y = 」「x = 」の形のときは代入法が速い。

文章題

例 4　冒頭の問題

 ① x + y = 8
 ② 100x + 60y = 640

① を 60 倍: 60x + 60y = 480 …①′
② − ①′: 40x = 160 → x = 4、y = 8 − 4 = 4
確かめ: 100 × 4 + 60 × 4 = 640 ✓

解いたら確かめる

解を 両方の式 に入れて成り立つか見る。例 2 の (1, 2): ① 2 + 6 = 8 ✓、② 1 + 2 = 3 ✓。

練習してみよう

1. x + y = 7、x − y = 3 → たして 2x = 10 → x = 5、y = 2
2. 3x + 2y = 12、x + 2y = 8 → ひいて 2x = 4 → x = 2、y = 3
3. y = x + 4、2x + y = 10 → 2x + x + 4 = 10 → x = 2、y = 6
4. 80 円と 50 円の品を合わせて 10 個、680 円 → x + y = 10、80x + 50y = 680 → 80 円が 6 個、50 円が 4 個

よくある間違い

• × 式をひくときに片方の項だけ引く（2x + 3y − 2x + 2y）→ 引く式の 全部の項 の符号が変わる
• × 何倍かするとき右辺を倍にし忘れる → 両辺 に同じ数をかける
• × x だけ出して終わる → もう 1 つの文字も求める（問題が聞いている方を答える）
• × 確かめを片方の式だけでする → 両方 の式で確かめる

練習の前に

加減法・代入法・文章題が 20 問。問題ごとに x か y の一方を聞く。答えは整数（負の数は −3 のように）。
まず「どの文字を消すか」を決めてから手を動かす。