空間図形（体積・表面積）

空間図形（体積・表面積）― 柱・錐・球

まず、身近なところから

ジュースの缶（円柱）、ソフトクリームのコーン（円錐）、ボール（球）。
「どれだけ入るか」が 体積、「包み紙がどれだけいるか」が 表面積。
小学校では直方体だけだったが、中学では丸いものやとがったものも扱う。

柱（角柱・円柱）― 底面積 × 高さ

底面をそのまま上に積み上げた形が 柱。

   ┌─────┐
   │     │  高さ h
   │     │
   └─────┘
   底面積 S
   → 体積 V = S × h

小学校の「たて × よこ × 高さ」も、「たて × よこ = 底面積」と見れば同じ式。
円柱は底面が円なので、底面積 = πr²。V = πr²h。

例 1　底面積 20 cm²、高さ 6 cm の三角柱 → 20 × 6 = 120 cm³
例 2　半径 3 cm、高さ 5 cm の円柱 → π × 9 × 5 = 45π cm³

錐（角錐・円錐）― 柱の 1/3

同じ底面・同じ高さの柱に、錐で水を注ぐと ちょうど 3 杯 で満タンになる。

     ╱╲
    ╱  ╲   高さ h
   ╱    ╲
  ╱──────╲
  底面積 S
  → 体積 V = S × h × 1/3

円錐は V = $\frac{1}{3}$πr²h。

例 3　底面積 24 cm²、高さ 5 cm の四角錐 → 24 × 5 ÷ 3 = 40 cm³
例 4　半径 3 cm、高さ 6 cm の円錐 → π × 9 × 6 ÷ 3 = 18π cm³

球

• 体積 V = $\frac{4}{3}$πr³
• 表面積 S = 4πr²

例 5　半径 3 cm の球　体積 = $\frac{4}{3}$ × π × 27 = 36π cm³、表面積 = 4 × π × 9 = 36π cm²
覚え方: 「身の上に心配ある（3 分の 4 π r 3 乗）ので参上（4 π r 2 乗）」。

表面積 ― 展開図で考える

立体を切り開いて平らにした 展開図 の面積の合計。

直方体（たて a、よこ b、高さ c）: 面が 6 つ、向かい合う 2 面ずつ同じ。
表面積 = 2(ab + bc + ca)

 a × b の面 2 つ
 b × c の面 2 つ
 c × a の面 2 つ

例 6　たて 2、よこ 3、高さ 4 → 2 × (6 + 12 + 8) = 2 × 26 = 52 cm²

円柱: 側面は展開すると長方形（横 = 円周 2πr、たて = h）。表面積 = 2πrh + 2πr²。

公式のまとめ

練習してみよう

1. 底面積 15 cm²、高さ 8 cm の角柱 → 120
2. 半径 2 cm、高さ 7 cm の円柱 → 4 × 7 = 28π（□ = 28）
3. 底面積 30 cm²、高さ 4 cm の角錐 → 120 ÷ 3 = 40
4. 半径 3 cm、高さ 9 cm の円錐 → 9 × 9 ÷ 3 = 27π（□ = 27）
5. 半径 6 cm の球の体積 → $\frac{4}{3}$ × 216 = 288π（□ = 288）
6. 半径 5 cm の球の表面積 → 4 × 25 = 100π（□ = 100）

よくある間違い

• × 錐で 1/3 を忘れる → 錐は柱の 1/3
• × 球の体積と表面積を混同 → 体積は r³ で 4/3、表面積は r² で 4
• × 直方体の表面積で面を 3 つしか足さない → 向かい合う面があるので 2 倍
• × π に 3.14 を入れる → このサイトでは π の係数 だけ答える

練習の前に

角柱・円柱・角錐・円錐・球の体積、直方体・球の表面積が 20 問。π の付く答えは「□π」の □ を整数で。
「柱は底面積 × 高さ、錐はその 1/3」を軸に、円なら底面積 = πr²。