平面図形（角・面積）

平面図形（角・面積）― 角の「等しい関係」と、円の一部

まず、身近なところから

線路の踏切で、2 本のレールに 1 本の道路が斜めに交わっている。できる角は 8 つあるが、じつは 2 種類の大きさしかない。
「なぜ等しいのか」がわかると、図形の角を計算だけで求められるようになる。

2 直線が交わる ― 対頂角

      ╲ a ╱
       ╲ ╱
     d  ╳  b
       ╱ ╲
      ╱ c ╲

向かい合う角 a と c を 対頂角 という。対頂角は等しい。
理由: a + b = 180°（一直線）、c + b = 180°（一直線）。同じ b をひくので a = c。
となりの角 b は 180° − a。

平行線と角 ― 同位角・錯角

  ───────╱─────── ℓ
        ╱ a
       ╱ b
  ────╱───────── m   （ℓ ∥ m）
     ╱ c
    ╱ d

• 同位角: 同じ位置にある角（a と c）。平行なら 等しい
• 錯角: 斜めに向かい合う角（b と c）。平行なら 等しい

理由: 平行線は「傾きが同じ」。同じ傾きの線に同じ直線が交わるのだから、できる角も同じ。
逆に、同位角や錯角が等しければ 2 直線は平行。

三角形の角

• 内角の和は 180°
• 外角 = となり合わない 2 つの内角の和

        ╱╲
       ╱  ╲
      ╱ a  ╲
     ╱      ╲
    ╱ b      c╲ d     ← d は c の外角。d = a + b
   ────────────────

理由: c + d = 180°、a + b + c = 180°。同じ c をひくと d = a + b。

多角形の内角の和 = (n − 2) × 180°

五角形を 1 つの頂点から対角線で切ると、三角形が 3 つ できる。

    ╱╲
   ╱  ╲       五角形 → 三角形 3 つ → 180° × 3 = 540°
  ╱────╲      n 角形 → 三角形 (n − 2) 個
  ╲────╱
   ╲  ╱

• n 角形の内角の和 = (n − 2) × 180°
• 外角の和はどんな多角形でも 360°（ぐるっと 1 周するから）
• 正 n 角形の 1 つの内角 = (n − 2) × 180 ÷ n、1 つの外角 = 360 ÷ n

例 1　八角形の内角の和 → (8 − 2) × 180 = 1080°
例 2　正六角形の 1 つの内角 → 720 ÷ 6 = 120°（外角は 360 ÷ 6 = 60°）

おうぎ形 ― 円の「一部分」

半径 r、中心角 a° のおうぎ形は、円全体の $\frac{a}{360}$ 倍。

        ╭───╮
       ╱  a° ╲      中心角 a° のおうぎ形
      │   ●   │     = 円の a/360
       ╲     ╱
        ╰───╯

• 弧の長さ = 円周 × $\frac{a}{360}$ = $2\pi r\times \frac{a}{360}$
• 面積 = 円の面積 × $\frac{a}{360}$ = $\pi r^2\times \frac{a}{360}$

中学からは 3.14 の代わりに π（パイ） をそのまま使う。「6π cm²」のように π を残して答える。

例 3　半径 6 cm、中心角 60°
面積 = π × 36 × $\frac{60}{360}$ = 36π × $\frac{1}{6}$ = 6π cm²
弧 = 2π × 6 × $\frac{1}{6}$ = 2π cm

練習してみよう

1. 対頂角の一方が 115° → もう一方は 115°
2. 平行線で、ある角が 48°。その錯角は？ → 48°
3. 十角形の内角の和 → 8 × 180 = 1440°
4. 正八角形の 1 つの内角 → 1080 ÷ 8 = 135°
5. 三角形の 2 つの内角が 50° と 70°。残りの頂点の外角 → 120°
6. 半径 4 cm、中心角 90° のおうぎ形の面積 → 16π × $\frac{1}{4}$ = 4π（□ = 4）

よくある間違い

• × 対頂角と「となりの角」を混同 → となりは 180° − a、向かい合う のが対頂角
• × 外角を 180 − (a + b) とする → 外角は a + b そのもの（180 − c と同じ）
• × n 角形の内角の和を n × 180 とする → (n − 2) × 180
• × おうぎ形で 3.14 をかけてしまう → π のまま、係数だけ 答える

練習の前に

対頂角・同位角・錯角、内角の和、正多角形の内角、おうぎ形（π の係数）、外角が 20 問。答えは整数。
おうぎ形は「円全体 × 中心角/360」で、約分してから計算する。