比例・反比例

比例・反比例 ― 負の数まで広げて、グラフでとらえる

まず、身近なところから

小学校の比例・反比例は「1 個 50 円のりんご x 個で y 円」のように 正の数だけ だった。
中学では x も y も比例定数も 負の数になってよい。たとえば「毎分 2 m ずつ水位が下がる」は y = −2x。
そして式を グラフ に描いて、形で理解する。

座標 ― 点の住所

        y
   第2  │  第1
  (−,+) │ (+,+)
 ───────┼─────── x
   第3  │  第4
  (−,−) │ (+,−)

点は (x, y) と書く。x が 右（負なら左）、y が 上（負なら下）。
平面は 4 つの部屋（象限）に分かれ、右上から 反時計回り に第 1・第 2・第 3・第 4。
点 (−3, 2) は x < 0、y > 0 → 左上 → 第 2 象限。

比例 y = ax

x が 2 倍、3 倍になると y も 2 倍、3 倍。式は y = ax、a を 比例定数 という。

例 1: 比例定数を求める　y は x に比例し、x = 2 のとき y = −6
y = ax に代入: −6 = a × 2 → a = −3。式は y = −3x。
1 組の (x, y) がわかれば a が決まる。

例 2: 別の x のときの y　上の式で x = −4 のとき
y = −3 × (−4) = 12

グラフ

  y = 2x（a > 0 右上がり）    y = −2x（a < 0 右下がり）
        │  ●                       ●  │
        │●                          ● │
 ───────┼───────             ────────┼───────
       ●│                            │●
      ● │                            │ ●

比例のグラフは 原点 (0, 0) を通る直線。a > 0 なら右上がり、a < 0 なら右下がり。
負の数まで使うので、原点の左側にも線が伸びる。

反比例 y = a/x

x が 2 倍になると y は $\frac{1}{2}$。式は $y=\frac{a}{x}$、つまり xy = a（一定）。

例 3　y は x に反比例し、x = 2 のとき y = 6。x = −4 のとき y は？

1. a = xy = 2 × 6 = 12
2. y = 12 ÷ (−4) = −3

グラフ

        │ ●
        │  ●
        │    ●  ●
 ───────┼─────────
  ●  ●  │
     ●  │
      ● │

反比例のグラフは 双曲線（2 本の曲線）。a > 0 なら第 1・第 3 象限、a < 0 なら第 2・第 4 象限。x = 0 にはならない（0 でわれない）ので、軸には触れない。

見分け方

練習してみよう

1. y は x に比例、x = −3 のとき y = 12。比例定数は？ → 12 ÷ (−3) = −4
2. その式で x = 5 のとき y は？ → −4 × 5 = −20
3. y は x に反比例、x = −6 のとき y = 4。x = 3 のとき y は？ → a = −24 → −8
4. 点 (2, −8) を通る比例の式は？ → a = −4 → y = −4x
5. 点 (−5, −1) はどの象限？ → 第 3 象限

よくある間違い

• × 比例定数を x ÷ y で出す → y ÷ x（y = ax だから a = y/x）
• × 反比例で y ÷ x を一定とする → 反比例は x × y が一定
• × 象限を時計回りに数える → 反時計回り。右上が第 1、左上が第 2
• × 負の数の代入でかっこを忘れる → −3 × (−4) = +12

練習の前に

比例定数、y の値、反比例の値、グラフの式（4 択）、象限（4 択）が 20 問。値は整数で。
「比例なら y ÷ x、反比例なら x × y」で定数を先に出す。