一次方程式

一次方程式 ― 「x はいくつ？」を式で求める

まず、身近なところから

1 個 x 円のパンを 3 個買って、150 円のジュースと合わせて 600 円だった。パン 1 個いくら？
式にすると 3x + 150 = 600。この「= で結ばれた式」で x を求めるのが 方程式 です。

小学校では「600 − 150 = 450、450 ÷ 3 = 150」と逆算した。方程式は、その逆算を どんな式でも同じ手順 でできるようにしたもの。

ことば

• 方程式: x の値によって成り立ったり成り立たなかったりする等式。3x + 150 = 600
• 解: 方程式を成り立たせる x の値。x = 150
• 方程式を解く: 解を求めること。ゴールは「x = □」の形

等式の性質 ― 天びんのイメージ

   3x + 150   =   600
  ┌────────┐     ┌─────┐
  └───┬────┘     └──┬──┘
      △            △      ← つり合っている

つり合った天びんは、両方の皿に同じことをしてもつり合ったまま。

1. 両辺に同じ数をたしてもよい
2. 両辺から同じ数をひいてもよい
3. 両辺に同じ数をかけてもよい
4. 両辺を同じ数（0 以外）でわってもよい

これを使って、x だけを左に残していく。

例 1: 3x + 150 = 600

1. 両辺から 150 をひく: 3x = 450
2. 両辺を 3 でわる: x = 150

移項 ― 「反対側に移すと符号が変わる」

「両辺から 150 をひく」を毎回書くのは面倒。結果だけ見ると、左の +150 が右に −150 として移動している。

 3x + 150 = 600
 3x = 600 − 150    ← +150 を右に移すと −150

これを 移項 という。項を反対の辺に移すとき、符号を変える。理由は上の「両辺から同じ数をひく」そのもの。

いろいろな形の解き方

例 2: 両辺に x がある　5x − 3 = 2x + 9

1. x の項を左、数を右に移項: 5x − 2x = 9 + 3
2. まとめる: 3x = 12
3. x = 4

例 3: かっこがある　2(x − 3) = 8
方法 A: 展開する。2x − 6 = 8 → 2x = 14 → x = 7
方法 B: 両辺を 2 でわる。x − 3 = 4 → x = 7（右辺が 2 でわり切れるときは速い）

例 4: 分数がある　$\frac{x}{3}+1=4$

1. 1 を移項: $\frac{x}{3}=3$
2. 両辺に 3 をかける: x = 9

例 5: 文章題　ある数 x を 3 倍して 200 をひくと 1000 になった

1. 式にする: 3x − 200 = 1000
2. 3x = 1200
3. x = 400
4. 確かめ: 400 × 3 − 200 = 1000 ✓

解いたら確かめる

解を元の式に入れて、左辺 = 右辺になるか見る。5x − 3 = 2x + 9 に x = 4 → 左 17、右 17 ✓。
確かめれば計算ミスに自分で気づける。

練習してみよう

1. $4x-5=11$ → 4x = 16 → x = 4
2. $7x+2=3x-10$ → 4x = −12 → x = −3
3. $3(x+2)=15$ → x + 2 = 5 → x = 3
4. $\frac{x}{4}-2=1$ → $\frac{x}{4}=3$ → x = 12

よくある間違い

• × 移項したのに符号を変えない（3x + 150 = 600 → 3x = 600 + 150）→ 移項したら 符号が変わる
• × 2(x − 3) で後ろの −3 に 2 をかけ忘れる（2x − 3 = 8）→ 2x − 6 = 8
• × 両辺を 3 でわるとき片方だけわる → 等式の性質は 両辺に 同じ操作
• × 答えを確かめない → 元の式に入れて左右が一致するか見る

練習の前に

移項・両辺に x・かっこ・分数係数・文章題が 20 問。答えは x の値（整数。負の数は −3 のように）。
「x の項は左、数は右」に集めてから、係数でわる。