平面上の曲線（楕円・双曲線・放物線）

平面上の曲線（楕円・双曲線・放物線）― 円錐を切ると現れる曲線

まず、身近なところから

惑星の軌道は楕円、パラボラアンテナの断面は放物線、原子力発電所の冷却塔の輪郭は双曲線。
どれも円錐を平面で切ったときの断面に現れるので 円錐曲線 と呼ばれる。この単元では、それぞれを「2 つの点（焦点）からの距離の条件」で定義し、式で扱う。

放物線 y² = 4px

「定点 F（焦点）と定直線（準線）から等距離にある点の集まり」。

        │      ╱
   準線 │     ╱
  x=−p  │    ●───────● F(p, 0)   FP = 準線までの距離
        │     ╲
        │      ╲

y² = 4px の形なら 焦点 (p, 0)、準線 x = −p。
例 1　y² = 8x → 4p = 8 → p = 2 → 焦点 (2, 0)、準線 x = −2

数I の y = ax² は縦向きの放物線。ここでは横向き（x と y の役割が逆）。

楕円 x²/a² + y²/b² = 1

「2 つの焦点からの距離の 和が一定（2a）」の点の集まり。2 本のピンに糸をかけて鉛筆で描ける曲線。

          ╭────────╮
        ╱   b         ╲
       │ ●────●────● │      ● 焦点 (±c, 0)
        ╲  −c  0  c  ╱      長軸 2a（横）、短軸 2b（縦）
          ╰────────╯
              a

a > b > 0 のとき

長軸の長さ 2a、短軸の長さ 2b
焦点 (±c, 0)、c² = a² − b²

例 2　x²/25 + y²/9 = 1 → a = 5、b = 3 → 長軸 10、短軸 6、c = √16 = 4 → 焦点 (±4, 0)
なぜ c² = a² − b²？短軸の端 (0, b) から 2 焦点までの距離の和が 2a なので、片方が a。三平方で a² = b² + c²。

双曲線 x²/a² − y²/b² = 1

「2 つの焦点からの距離の 差が一定（2a）」の点の集まり。

   ╲          │          ╱
    ╲         │         ╱   漸近線 y = ±(b/a)x
     ╲   ●────┼────●   ╱     ● 焦点 (±c, 0)
      ╲  −c  ╱│╲  c  ╱
       ╲   ╱  │  ╲   ╱
        ╲╱    │    ╲╱

焦点 (±c, 0)、c² = a² + b²（楕円と符号が違う）
漸近線 y = ±(b/a)x（遠くでこの直線に限りなく近づく）

例 3　x²/9 − y²/16 = 1 → a = 3、b = 4 → c = 5 → 焦点 (±5, 0)、漸近線 y = ±(4/3)x

媒介変数表示 ― x と y を第 3 の変数で表す

x、y を別の変数 t や θ で表すと、動く点の軌跡として曲線を扱える。

曲線	媒介変数表示	消去すると
円 x² + y² = r²	x = r cos θ、y = r sin θ	cos²θ + sin²θ = 1 を使う
楕円	x = a cos θ、y = b sin θ	(x/a)² + (y/b)² = 1
放物線 y² = 4px	x = pt²、y = 2pt	y² = 4p²t² = 4px

例 4　x = 3 cos θ、y = 3 sin θ → x² + y² = 9(cos²θ + sin²θ) = 9 → 半径 3 の円

極座標 ― 距離と角で点を表す

点を (x, y) の代わりに (r, θ)（原点からの距離 r、x 軸からの角 θ）で表す。

$x = r cos θ, y = r sin θ, r^{2} = x^{2} + y^{2}$

極方程式（r と θ の式）を直交座標に直すには上の関係を代入する。

r = 2 → x² + y² = 4（原点中心・半径 2 の円）
θ = π/4 → y = x（傾き 1 の直線）
r cos θ = 3 → x = 3（縦線）
r = 2 cos θ → 両辺に r をかけて r² = 2r cos θ → x² + y² = 2x → (x − 1)² + y² = 1

練習してみよう

楕円 x²/169 + y²/25 = 1 の長軸 → 2 × 13 = 26、焦点の c → √(169 − 25) = 12
双曲線 x²/16 − y²/9 = 1 の漸近線の k → 3/4、焦点の c → √25 = 5
放物線 y² = 12x の焦点の x 座標 → 3
x = 4 cos θ、y = 4 sin θ → x² + y² = 16
極方程式 r = 2 cos θ → (x − 1)² + y² = 1

よくある間違い

× 楕円と双曲線の c² を混同 → 楕円は a² − b²、双曲線は a² + b²
× 長軸を a とする → 長軸の長さは 2a
× y² = 8x の焦点を (8, 0) とする → 4p = 8 で p = 2
× 極座標で r = 2 cos θ をそのまま x = 2 と読む → 両辺に r をかけて から変換

練習の前に

楕円の軸の長さ・焦点、双曲線の漸近線（分数可）・焦点、放物線の焦点、媒介変数（4 択）、極方程式（4 択）が 20 問。
式を見たら「楕円か双曲線か（符号）」「a と b はどれか（分母の √）」を先に読む。