ベクトル（平面・空間・内積）

ベクトル（平面・空間・内積）― 「向きと大きさ」をもつ量

まず、身近なところから

「東に 3 km」と「北に 4 km」を合わせると「北東方向に 5 km」。距離だけでなく 向き も持つ量は、ただの数のたし算では扱えない。
風・力・速度など、向きと大きさをもつ量が ベクトル。矢印で表し、成分で計算する。空間（3 次元）でも同じ計算ができるのが強み。

ベクトルとは

        ╱▶ a
       ╱          矢印の長さ = 大きさ |a|
      ╱           矢印の向き = 向き
     ●

• 平行移動しても同じベクトル（位置は関係ない。向きと大きさだけ）
• 成分表示: 始点を原点に置いたときの終点の座標 a = (a₁, a₂)。空間なら (a₁, a₂, a₃)

成分の計算

• 和・差: 成分ごとにたす・ひく
• 実数倍: 各成分を k 倍
• 大きさ: |a| = √(a₁² + a₂²)（三平方の定理）。空間なら √(a₁² + a₂² + a₃²)

例 1　a = (1, 2)、b = (3, −1) のとき a + 2b = (1 + 6, 2 − 2) = (7, 0)
例 2　a = (3, 4) の |a|² = 9 + 16 = 25（|a| = 5）

内積 ― 2 つのベクトルから 1 つの数を作る

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2$$

θ はなす角。成分で計算すると「対応する成分の積の和」。答えはベクトルではなく数。

    b
   ╱
  ╱ θ
 ●─────▶ a
 a·b = |a||b|cos θ  ← b の a 方向への影の長さ × |a|

例 3　(1, 2)·(3, −1) = 3 − 2 = 1
例 4　空間 (1, 2, 3)·(2, −1, 1) = 2 − 2 + 3 = 3

内積でわかること

垂直 ⇔ a·b = 0

cos 90° = 0 だから。
例 5　a = (2, 3)、b = (6, t) が垂直 → 12 + 3t = 0 → t = −4

平行 ⇔ b = k a（成分が比例）

例 6　a = (2, 3)、b = (−4, t) が平行 → −4 = 2 × (−2) なので k = −2 → t = 3 × (−2) = −6

なす角

$$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

例 7　a = (1, 0)、b = (1, 1) → cos θ = 1/(1 × √2) = √2/2 → θ = 45°
例 8　a = (3, 4)、b = (4, 3) → cos θ = 24/(5 × 5) = 24/25

|a|² = a·a

自分自身との内積は大きさの 2 乗。|a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|² のように展開できる。

位置ベクトルと内分点

点 P の位置を原点からのベクトル OP（位置ベクトル p）で表す。線分 AB を m : n に内分する点 P は

$$\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$

図形と方程式の内分点の公式と同じ形（たすき）。中点は (a + b)/2、三角形 ABC の重心は (a + b + c)/3。
例 9　AB を 1 : 2 に内分する P → OP = (2OA + 1·OB)/3 → OA の係数 s = 2/3

ベクトル方程式

• 直線: p = a + t d（点 a を通り、方向 d）
• 円: |p − c| = r（中心 c、半径 r）

練習してみよう

1. a = (2, −1)、b = (1, 3) の a + 3b の y 成分 → −1 + 9 = 8
2. (2, 5)·(−3, 2) → −6 + 10 = 4
3. a = (1, −2, 2) の |a|² → 1 + 4 + 4 = 9
4. a = (4, −2)、b = (3, t) が垂直 → 12 − 2t = 0 → t = 6
5. a = (1, 2)、b = (2, 1) のなす角の cos → 4/(√5 × √5) = 4/5
6. AB を 3 : 1 に内分する P の OA の係数 → 1/4

よくある間違い

• × 内積をベクトル (a₁b₁, a₂b₂) で答える → 内積は 数（積の和）
• × 垂直の条件を「傾きの積 −1」で考える → ベクトルでは 内積 = 0 が簡単
• × 内分点で m と n の位置を逆にする → たすき: A 側の係数が n/(m + n)
• × |a + b| = |a| + |b| とする → 一般には成り立たない。2 乗して内積で展開

練習の前に

成分、内積、|a|²、垂直・平行の条件、なす角の cos（分数または 4 択）、内分点の係数（分数）が 20 問。
「垂直なら内積 0、平行なら成分が比例」を軸に。