数列（等差・等比・Σ・漸化式）

数列（等差・等比・Σ・漸化式）― 規則的に並んだ数を式で扱う

まず、身近なところから

毎月 3000 円ずつ貯金する: 3000, 6000, 9000, …（同じ数を たしていく）。
細菌が毎時間 2 倍: 1, 2, 4, 8, …（同じ数を かけていく）。
規則的に並んだ数の列を 数列 といい、n 番目の数（第 n 項 aₙ）や 最初から n 個の和 Sₙ を式で求めるのがこの単元。

等差数列 ― 同じ数をたしていく

初項 a、公差 d（となりの差）の数列: a, a + d, a + 2d, …

$$a_n=a+(n-1)d$$

第 n 項までに d を (n − 1) 回 たす。

例 1　初項 3、公差 4 の第 10 項 → 3 + 9 × 4 = 39

和の公式

$$S_n=\frac{n(a+a_n)}{2}=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$$

理由: 最初と最後、2 番目と最後から 2 番目…をペアにすると全部 a + aₙ。それが n 個で、2 回数えているから 2 でわる。

  3 +  7 + 11 + 15 + 19 + 23
 23 + 19 + 15 + 11 +  7 +  3
 ─────────────────────────────
 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 26 × 6 → ÷2 = 78

例 2　初項 3、公差 4 の第 10 項までの和 → 10 × (3 + 39)/2 = 210

等比数列 ― 同じ数をかけていく

初項 a、公比 r（となりの比）の数列: a, ar, ar², …

$$a_n=a{r}^{n-1}$$

例 3　初項 2、公比 3 の第 5 項 → 2 × 3⁴ = 162

和の公式

$$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}(r\ne 1)$$

理由: S − rS を計算すると途中の項が全部消えて a − arⁿ が残る。

例 4　初項 2、公比 3 の第 4 項までの和 → 2(81 − 1)/2 = 80（2 + 6 + 18 + 54 = 80 ✓）

Σ（シグマ）― 和を短く書く記号

${\sum }_{k=1}^n{a}_k$ = a₁ + a₂ + … + aₙ。「k を 1 から n まで動かしてたす」。

覚える公式:

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\sum _{k=1}^n(2k-1)=n^2$$

例 5　${\sum }_{k=1}^{10}k$ = 10 × 11/2 = 55、${\sum }_{k=1}^5{k}^2$ = 5 × 6 × 11/6 = 55
Σ は項ごとに分けられ、定数は前に出せる: Σ(3k + 2) = 3Σk + 2n。

漸化式 ― 前の項から次の項を決める規則

「a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 1」のように、1 つ前の項との関係 で数列を定める式。

• aₙ₊₁ = aₙ + d → 等差数列
• aₙ₊₁ = r aₙ → 等比数列
• aₙ₊₁ = p aₙ + q → 特性方程式 α = pα + q の解 α で aₙ₊₁ − α = p(aₙ − α) と変形すると、{aₙ − α} が等比数列になる

例 6　a₁ = 1、aₙ₊₁ = 2aₙ + 1 の a₄
順に計算: a₂ = 3、a₃ = 7、a₄ = 15
一般項: α = 2α + 1 → α = −1。aₙ + 1 = 2ⁿ → aₙ = 2ⁿ − 1（a₄ = 15 ✓）

数学的帰納法

「n = 1 で成り立つ」+「n = k で成り立つなら n = k + 1 でも成り立つ」→ すべての自然数で成り立つ。ドミノ倒しの論理。

練習してみよう

1. 初項 −5、公差 3 の第 12 項 → −5 + 33 = 28
2. 初項 4、公差 2 の第 8 項までの和 → 8 × (8 + 14)/2 = 88
3. 初項 −1、公比 −2 の第 5 項 → −1 × 16 = −16
4. 初項 3、公比 2 の第 5 項までの和 → 3(32 − 1)/1 = 93
5. ${\sum }_{k=1}^8(2k-1)$ → 8² = 64
6. a₁ = 2、aₙ₊₁ = 3aₙ − 2 の a₃ → a₂ = 4、a₃ = 10

よくある間違い

• × aₙ = a + nd とする → たす回数は n − 1
• × 等比の和で rⁿ − 1 を rⁿ⁻¹ − 1 にする → rⁿ（n 個の項）
• × Σk² と (Σk)² を混同 → 別物。Σk² は n(n+1)(2n+1)/6
• × 漸化式で a₁ を第 0 項のように扱う → a₁ から数えて、aₙ を出すには n − 1 回 適用

練習の前に

等差・等比の項と和、Σ の計算、漸化式の第 n 項が 20 問。答えは整数。
「たすのか、かけるのか」を最初に判断してから公式を選ぶ。