図形の性質（チェバ・メネラウス・円）

図形の性質（チェバ・メネラウス・円）― 三角形と円の「定番の定理」

まず、身近なところから

三角形には「3 本の線が必ず 1 点で交わる」特別な点がいくつもある。重心（バランスの中心）、外心（3 頂点を通る円の中心）、内心（内側に接する円の中心）。
この単元は、そうした 定理を使って長さや比を計算する 単元。証明より「どの定理を使うか」を見抜く練習が中心。

三角形の五心

名前	何の交点	性質
外心	3 辺の垂直二等分線	3 頂点から等距離（外接円の中心）
内心	3 つの内角の二等分線	3 辺から等距離（内接円の中心）
重心	3 本の中線（頂点と対辺の中点）	各中線を 2 : 1 に分ける
垂心	3 頂点から対辺への垂線

 重心 G と中線 AM
        A
       ╱│╲
      ╱ │ ╲       AG : GM = 2 : 1
     ╱  G ╲       AG = AM × 2/3
    ╱   │  ╲
   B────M────C

例 1　AM = 12 のとき AG = 12 × 2/3 = 8

覚え方: 外心は「外」接円、内心は「内」接円、重心は「重さ」の中心（2 : 1）。

角の二等分線の定理

∠A の二等分線が BC と交わる点を D とすると BD : DC = AB : AC。

        A
       ╱|╲
      ╱ | ╲       AB : AC = 3 : 5 なら
     ╱  |  ╲      BD : DC = 3 : 5
    B───D───C

例 2　AB = 3、AC = 5、BC = 16 → BD = 16 × 3/(3 + 5) = 6

チェバの定理 ― 3 本の線が 1 点で交わるとき

△ABC の辺 BC、CA、AB 上の点 D、E、F について、AD、BE、CF が 1 点で交わるなら

$\frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = 1$

        A
       ╱╲
    F ╱  ╲ E      頂点 B から出発して
     ╱ ╲╱ ╲       B→D→C→E→A→F→B と一周
    B───D───C

例 3　BD : DC = 2 : 3、CE : EA = 1 : 2 のとき AF/FB は？
(2/3)(1/2)(AF/FB) = 1 → AF/FB = 3

メネラウスの定理 ― 1 本の直線が 3 辺を切るとき

1 本の直線が △ABC の 3 辺（延長を含む）と D、E、F で交わるとき、チェバと同じ形の式 = 1 が成り立つ。「ぐるっと一周」の書き方も同じ。

円の性質

円に内接する四角形

対角の和は 180°。∠B = 110° なら ∠D = 70°（中 3 の復習）。

方べきの定理 ― 点を通る 2 直線と円

点 P を通る 2 本の直線が円と A、B および C、D で交わるとき PA · PB = PC · PD。

 P が円の内部（2 本の弦）        P が外部（接線 PT）
      A                               T
       ╲                             ╱│
    C───P───D                    P ╱  │
         ╲                        ╲   │
          B                        A──B
 PA · PB = PC · PD              PT² = PA · PB

例 4　PA = 4、PB = 6、PC = 3 → PD = 24 ÷ 3 = 8
例 5　PA = 2、PB = 18 → PT² = 36 → PT = 6

接弦定理

接線と弦の作る角は、その弦に対する円周角に等しい。

練習してみよう

重心 G、中線 AM = 9 → AG = 6
AB = 4、AC = 6、BC = 15、∠A の二等分線と BC の交点 D → BD = 15 × 4/10 = 6
BD : DC = 1 : 2、CE : EA = 3 : 1 → AF/FB = (2/1)(1/3) = 2/3
PA = 3、PB = 8、PC = 4 → PD = 6
PA = 3、PB = 12 → PT = 6
「3 辺から等距離」は？ → 内心

よくある間違い

× 外心と内心を混同 → 外心は頂点から等距離、内心は辺から等距離
× 重心で AG : GM = 1 : 2 とする → 頂点側が長い。2 : 1
× チェバの式で向きをそろえない → B から 一周する順 に分子・分母を並べる
× 方べきで PA + PB を使う → 積 PA · PB

練習の前に

角の二等分線、チェバ（比の値を分数で）、方べき（分数可）、接線の長さ、五心（4 択）、重心の比、内接四角形が 20 問。
図を描いて「どの定理の形か」を当てはめる。