場合の数（順列・組合せ）

場合の数（順列・組合せ）― 数えるための公式

まず、身近なところから

小 6 で「3 人の並び方は 3 × 2 × 1 = 6 通り」を樹形図で数えた。人数が 10 人になると樹形図は書けない。
数えずに 計算で出す公式 が順列 P と組合せ C。ポイントは「順番を区別するか」の 1 点だけ。

順列 nPr ― 選んで並べる（順番を区別）

n 個から r 個を選んで 1 列に並べる 方法の数。

$${}_n{P}_r=n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1)(r\text{ 個の積})$$

例 1　5 人から 3 人を選んで並べる: ₅P₃ = 5 × 4 × 3 = 60
1 番目は 5 通り、2 番目は残り 4 通り、3 番目は残り 3 通り。「n から 1 ずつ減らして r 個かける」。

全員を並べるなら n! = n × (n−1) × … × 1（n の階乗）。5! = 120。

組合せ nCr ― 選ぶだけ（順番を区別しない）

n 個から r 個を 選ぶ 方法の数。

$${}_n{C}_r=\frac{{}_n{P}_r}{r!}$$

例 2　5 人から 3 人を選ぶ: ₅C₃ = 60 ÷ 3! = 60 ÷ 6 = 10

なぜ r! でわる？ 並べ方 60 通りの中で、{A, B, C} という同じ 3 人の組が ABC、ACB、BAC、… と 3! = 6 回ずつ数えられているから。

 P（並べる）  ÷ r!（同じ組の並べかえ）  = C（選ぶ）
    60       ÷        6                =   10

性質: ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ（5 人から 3 人選ぶ = 選ばない 2 人を決める）、ₙC₀ = 1。

いろいろな順列

円順列 ― 丸く座る

n 人が円形に座る並び方は (n − 1)!。
理由: 1 列なら n! だが、円では回転して同じになるものを n 回ずつ数えている。n! ÷ n = (n − 1)!。
「1 人を固定して残りを並べる」と考えてもよい。

例 3　5 人が円卓に → 4! = 24

重複順列 ― 同じものを何度使ってもよい

n 種類から重複を許して r 個並べる: n^r。各位置に n 通りずつ。
例 4　A, B, C の 3 文字で 4 文字の文字列 → 3⁴ = 81

同じものを含む順列

a が p 個、b が q 個、c が r 個（合計 n 個）を並べる:
$$\frac{n!}{p!q!r!}$$
同じ文字の入れかえは区別しないので、その分でわる。
例 5　a, a, b, b, c の 5 個 → 5! ÷ (2! 2! 1!) = 120 ÷ 4 = 30

積の法則・和の法則

• 「A を決めて、かつ B を決める」（独立に決まる）→ かける
• 「A または B」（場合分け）→ たす

例 6　男子 4 人から 2 人、女子 3 人から 1 人を選ぶ → ₄C₂ × ₃C₁ = 6 × 3 = 18

P か C かの見分け方

 「並べる」「順番に」「1 番目・2 番目」「委員長と副委員長」 → P（順番あり）
 「選ぶ」「組を作る」「同時に取り出す」                      → C（順番なし）

練習してみよう

1. 6 人から 2 人を選んで並べる → ₆P₂ = 6 × 5 = 30
2. 7 人から 3 人を選ぶ → ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35
3. 6 人が円形に → 5! = 120
4. 2 種類の文字で 5 文字 → 2⁵ = 32
5. a, a, a, b, b を並べる → 5! ÷ (3! 2!) = 10
6. 男子 5 人から 2 人、女子 4 人から 1 人 → 10 × 4 = 40

よくある間違い

• × 「選ぶ」問題で P を使う → 順番を区別しないなら C（P を r! でわる）
• × 円順列を n! とする → 回転の重なりを消して (n − 1)!
• × 男女から選ぶを ₉C₃ とする → 男女別に選ぶので 積の法則 で ₅C₂ × ₄C₁
• × ₙCᵣ で r! をわり忘れる → C は P ÷ r!

練習の前に

nPr、nCr、円順列、重複順列、同じものを含む順列、男女から選ぶが 20 問。答えは整数。
まず「順番を区別するか」を決め、次に公式を選ぶ。