積分の応用（面積・体積）

積分の応用（面積・体積）― 「細かく切ってたす」で図形を測る

まず、身近なところから

ワイングラスの容積、ドーナツの体積、曲がった道の長さ。公式のない形でも、薄く切って、それぞれを計算して、全部たす 極限が積分。
数II の面積を、曲線どうし・回転体の体積・道のり へ広げる。

面積

曲線と x 軸

$$S={\int }_a^b|f(x)|dx$$

x 軸より下（f < 0）の部分は積分が負になるので、符号を直してたす。

例 1　y = sin x（0 ≦ x ≦ π）と x 軸 → ∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = 2
y = 2 sin x なら 2 倍で 4。

2 曲線の間

$$S={\int }_a^b(\text{上の曲線}-\text{下の曲線})dx$$

例 2　y = x² と y = 2x
交点: x² = 2x → x = 0、2。0 ≦ x ≦ 2 では直線が上。
$${\int }_0^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$
放物線と直線なら 1/6 公式 (2 − 0)³/6 = 4/3 でも同じ。

      │    ╱ y = 2x
      │  ╱█╱  y = x²
      │╱██╱
 ─────●──●──── x
      0  2

例 3　y = 3x − x² と x 軸 → 交点 0、3 → 3³/6 = 9/2

回転体の体積 ― 薄い円盤をたす

y = f(x)（a ≦ x ≦ b）を x 軸のまわりに 1 回転 した立体を、x で薄く輪切りにすると、半径 f(x) の円盤。
円盤の体積 π{f(x)}² dx をたして

$$V=\pi {\int }_a^b\{f(x){\}}^{2}dx$$

        ╱‾‾‾╲
   ────┤ ● ├────  ← 半径 f(x) の円盤、厚さ dx
        ╲___╱

例 4: 円錐　y = x（0 ≦ x ≦ h）→ V = π∫₀ʰ x² dx = πh³/3（底面の半径 h、高さ h の円錐。(1/3)πr²h と一致）
例 5: 球　y = √(r² − x²)（−r ≦ x ≦ r）→ V = π∫₋ᵣʳ (r² − x²) dx = π(2r³ − 2r³/3) = (4/3)πr³（球の体積の公式が出る！）
例 6　y = √x（0 ≦ x ≦ a）→ V = π∫₀ᵃ x dx = πa²/2

y 軸のまわりに回すときは x = g(y) の形にして π∫{g(y)}² dy。

道のりと曲線の長さ

• 速度 v(t) で動く点の t = a から b までの 道のり = ∫ₐᵇ |v(t)| dt（負の速度は逆向きに動くので絶対値）
• 曲線 y = f(x) の 長さ = ∫ₐᵇ √(1 + {f'(x)}²) dx

例 7　v(t) = 3t² で t = 0 〜 2 の道のり → ∫₀² 3t² dt = [t³]₀² = 8

区分求積法 ― 和の極限が積分

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$$

幅 1/n の細長い長方形を n 個たして n → ∞。「積分は細かく切ってたしたもの」の定義そのもの。

練習してみよう

1. y = x² と y = 3x で囲まれた面積 → 3³/6 = 9/2
2. y = 3 sin x（0 ≦ x ≦ π）と x 軸 → 6
3. y = x（0 ≦ x ≦ 3）を x 軸のまわりに回転 → π × 27/3 → k = 9
4. 半径 2 の球 → (4/3) × 8 → k = 32/3
5. y = √x（0 ≦ x ≦ 4）を回転 → π × 16/2 → k = 8
6. v(t) = 2t² で t = 0 〜 3 の道のり → 2 × 27/3 = 18

よくある間違い

• × 回転体で π{f(x)}² の 2 乗を忘れる → 円盤の面積は πr²
• × 2 曲線の面積で「上 − 下」を逆にして負になる → 交点の間で どちらが上か 確認
• × 道のりで速度をそのまま積分する（負の区間がある場合）→ |v|
• × 球の体積で ∫(r² − x²) を [r²x − x³/3] の代入で符号ミス → 偶関数なので 2∫₀ʳ で計算すると安全

練習の前に

放物線と直線の面積（分数可）、sin の面積、円錐・球・√x の回転体の体積（π の係数、分数可）、道のり（分数可）が 20 問。
「面積は上 − 下、体積は π × (半径)² を積分」を型にする。