積分法（置換・部分積分）

積分法（置換・部分積分）― 微分の逆をたどる技術

まず、身近なところから

微分は公式どおり機械的にできる。積分は「微分したらこれになる関数」を 逆に探す ので、工夫がいる。
2x(x² + 1)³ を見て「(x² + 1)⁴ を微分した形だ」と気づく（置換積分）。x eˣ を見て「積の微分の片割れだ」と見抜く（部分積分）。
この単元は、微分の公式を逆読みする 2 つの技と、基本関数の積分表を身につける。

基本の積分（微分公式の逆読み）

f(x)	∫f(x)dx	由来
xⁿ（n ≠ −1）	xⁿ⁺¹/(n + 1) + C	(xⁿ⁺¹)' = (n + 1)xⁿ
1/x	ln\	x\	+ C	(ln x)' = 1/x
eˣ	eˣ + C	(eˣ)' = eˣ
sin x	−cos x + C	(cos x)' = −sin x
cos x	sin x + C	(sin x)' = cos x
1/cos²x	tan x + C	(tan x)' = 1/cos²x

例 1　 $\int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e^{2}} = 2 - 0 = 2$
例 2　 $\int_{0}^{l n 8} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{l n 8} = 8 - 1 = 7$
例 3　 $\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = 1 + 1 = 2$
例 4　 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x ^{2}} d x = [- \frac{1}{x}]_{1}^{2} = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

置換積分 ― 中身を t とおく

∫f(g(x)) g'(x) dx の形（「中身」と「中身の微分」がそろっている）は、t = g(x) とおくと ∫f(t) dt になる。

例 5　 $\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$
t = x² + 1 とおくと dt = 2x dx。x: 0 → 1 のとき t: 1 → 2。
$\int_{1}^{2} t^{3} d t = [\frac{t ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}$

 2x (x² + 1)³ dx
 └┬┘ └──┬──┘
  dt     t³        ← 中身 t、中身の微分 dt がそろっている

定積分では 積分区間も t の値に直す。

一次式の置換

∫(2x + 1)ⁿ dx は t = 2x + 1、dx = dt/2:
$\int_{0}^{1} (2 x + 1)^{n} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} t^{n} d t = \frac{3 ^{n + 1} - 1}{2 ( n + 1 )}$
例 6　n = 2 → (27 − 1)/6 = 13/3

部分積分 ― 積の微分の逆

(uv)' = u'v + uv' を積分して整理すると

$\int u v^{'} d x = uv - \int u^{'} v d x$

「微分すると簡単になる方を u にする」（多項式、ln x）。

例 7　 $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$
u = x（微分すると 1）、v' = eˣ（v = eˣ）。
$[x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$

例 8　 $\int_{1}^{e} ln x d x$
ln x は単独では積分しにくい。u = ln x、v' = 1（v = x）と見る。
$[x ln x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} d x = e - (e - 1) = 1$

三角関数の積分 ― 次数を下げる

sin²x や cos²x は 2 倍角の逆で 1 次にする:
$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$
例 9　 $\int_{0}^{π} sin^{2} x d x = \int_{0}^{π} \frac{1 - c o s 2 x}{2} d x = \frac{π}{2}$ （k = 1/2）
積は「積 → 和の公式」で和に直してから積分。

分数関数 ― 部分分数分解

$\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ のように分けると、それぞれ ln で積分できる。

練習してみよう

$\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{2} d x$ → ∫₁² t² dt = (8 − 1)/3 = 7/3
$\int_{0}^{1} (2 x + 1)^{3} d x$ → (81 − 1)/8 = 10
$\int_{0}^{π /2} cos x d x$ → 1
$\int_{2}^{4} \frac{1}{x ^{2}} d x$ → −1/4 + 1/2 = 1/4
$\int_{0}^{l n 32} e^{x} d x$ → 32 − 1 = 31
$\int_{1}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x$ → 3

よくある間違い

× 置換で積分区間を x のままにする → t の範囲 に直す（または x に戻してから代入）
× 部分積分で u と v' を逆にして複雑になる → 微分して簡単になる方を u
× ∫sin x dx = cos x → −cos x
× ∫1/x dx = −1/x² → それは微分。積分は ln|x|

練習の前に

置換積分（x² + 1、2x + 1）、部分積分（x eˣ、ln x）、三角関数、1/x²、eˣ、1/x の定積分が 20 問。整数か分数で。
「中身と中身の微分がそろっているか」を最初に見る。