微分の応用

微分の応用 ― 微分で「動き」と「形」を読む

まず、身近なところから

ロケットの位置がわかれば、微分で速度が、もう一度微分で加速度がわかる。
グラフの「上に凸か下に凸か」も 2 回微分で判定できる。1.01¹⁰ のような計算も微分を使えば暗算で近似できる。
数II で「接線と増減」に使った微分を、2 回微分・近似・物理 へ広げるのがこの単元。

接線と法線

y = f(x) の x = a における

• 接線: y − f(a) = f'(a)(x − a)
• 法線（接線に垂直）: 傾き −1/f'(a)

例 1　y = e²ˣ の x = 0 での接線
y' = 2e²ˣ → 傾き 2e⁰ = 2。点 (0, 1) → y = 2x + 1

増減・極値（復習）と凹凸・変曲点（新）

f' の符号で 増減、f'' の符号で 凹凸 がわかる。

 f'' > 0: 下に凸（谷型 ╲╱）   傾きが増えていく
 f'' < 0: 上に凸（山型 ╱╲）   傾きが減っていく
 f'' = 0 で符号が変わる点 = 変曲点（凹凸の切りかわり）

例 2　y = x³ − 3x²
y' = 3x² − 6x = 3x(x − 2) → x = 0 で極大値 0、x = 2 で極小値 −4
y'' = 6x − 6 = 0 → x = 1。前後で符号が変わるので 変曲点 x = 1

速度と加速度

数直線上の位置 s(t) について

$$v=\frac{ds}{dt}=s^{\prime }(t),a=\frac{dv}{dt}=s^{\prime \prime }(t)$$

例 3　s(t) = t³ − 2t
v = 3t² − 2、a = 6t。t = 2 で v = 10、a = 12
速度が負なら逆向きに動いている。速度 0 の瞬間に向きが変わる。

1 次近似 ― x が小さいとき直線で代用

x = 0 の近くでは、曲線は接線とほぼ重なる:

$$f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)x(x\approx 0)$$

例 4　(1 + x)ⁿ ≈ 1 + nx
1.01¹⁰ = (1 + 0.01)¹⁰ ≈ 1 + 10 × 0.01 = 1.1（真の値 1.1046…）
1.02⁵ ≈ 1 + 5 × 0.02 = 1.1

        ╱ 接線 y = 1 + nx
      ╱╱ 曲線 (1 + x)ⁿ
    ╱╱
  ●╱      x = 0 の近くでは ほぼ同じ

平均値の定理

f が [a, b] で連続、(a, b) で微分可能なら

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \quad \text{となる } c \text{ が } a < c < b \text{ に存在}

「区間の平均の傾き」と同じ傾きの接線が、区間の中のどこかに必ずある。

例 5　f(x) = x²、区間 [1, 3]
平均の傾き (9 − 1)/(3 − 1) = 4。f'(c) = 2c = 4 → c = 2
f(x) = x² なら c は必ず区間の中点 (a + b)/2 になる。

方程式の実数解の個数

f(x) = k の解の個数は、y = f(x) のグラフと横線 y = k の交点の数。増減表と極値から読む。

練習してみよう

1. s(t) = 2t³ + 3t の t = 1 の速度 → 6 + 3 = 9、加速度 → 12t = 12
2. y = x³ − 6x² の変曲点 → y'' = 6x − 12 = 0 → x = 2
3. f(x) = x³ − 6x² の極小値 → f' = 3x(x − 4)、f(4) = 64 − 96 = −32
4. y = e³ˣ の x = 0 の接線の傾き → 3
5. 1.02⁷ の 1 次近似 → 1 + 7 × 0.02 = 1.14
6. f(x) = x² の [0, 3] での平均値の定理の c → 3/2

よくある間違い

• × 変曲点を f' = 0 で求める → 変曲点は f'' = 0（かつ符号が変わる）
• × 加速度を s' とする → 速度が s'、加速度は s''（2 回微分）
• × 1 次近似で 1.01¹⁰ = 1.01 × 10 とする → 1 + nx = 1 + 0.1
• × 平均値の定理の c を区間の端にする → a < c < b の内側

練習の前に

速度・加速度、変曲点、極小値、eˣ の接線の傾き、1 次近似（小数）、平均値の定理の c（分数可）が 20 問。
「1 回微分で速度・傾き・増減、2 回微分で加速度・凹凸」と整理する。