微分法（積・商・合成関数）

微分法（積・商・合成関数）― どんな関数でも微分できるように

まず、身近なところから

数II では xⁿ の微分だけだった。でも世の中の関数は x²(x + 1) のような 積、1/x のような 商、(2x + 1)³ のような 合成、eˣ・log x・sin x のような 超越関数 ばかり。
この単元で「部品の微分」と「組み合わせのルール」をそろえると、ほぼすべての関数が微分できるようになる。

3 つの組み合わせルール

積の微分 (uv)' = u'v + uv'

「前を微分 × 後ろそのまま + 前そのまま × 後ろを微分」。u'v' ではない。

例 1　f(x) = x²(x + 1)
u = x²、v = x + 1 → f' = 2x(x + 1) + x² · 1 = 3x² + 2x
（展開して x³ + x² を微分しても 3x² + 2x。一致する）

商の微分 (u/v)' = (u'v − uv')/v²

分子は「積の微分の符号がマイナス」、分母は 2 乗。特によく使う形:

$${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$$

例 2　f(x) = 1/x のとき f'(2) = −1/4

合成関数の微分 ― 外側の微分 × 内側の微分

$$\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

例 3　f(x) = (2x + 1)³
外側「( )³」を微分: 3( )²。内側「2x + 1」を微分: 2。→ f' = 3(2x + 1)² × 2 = 6(2x + 1)²
f'(1) = 6 × 9 = 54

 (2x + 1)³
   │    └── 内側 g = 2x + 1 → g' = 2
   └─────── 外側 f = ( )³  → f' = 3( )²
 掛け合わせて 3(2x+1)² · 2

内側の微分（× 2）を忘れるのが最多のミス。

いろいろな関数の導関数

例 4　f(x) = e³ˣ → f' = 3e³ˣ → f'(0) = 3
例 5　f(x) = ln x → f'(5) = 1/5
例 6　f(x) = sin 2x → f' = 2 cos 2x → f'(0) = 2。f(x) = cos 2x → f' = −2 sin 2x → f'(0) = 0
例 7　f(x) = x⁻² → f' = −2x⁻³ → f'(2) = −2/8 = −1/4

対数微分法 ― log をとってから微分

y = xˣ のように指数にも x があるとき、両辺の ln をとる: ln y = x ln x。
両辺を微分: y'/y = ln x + 1 → y' = xˣ(ln x + 1)。積が多い関数にも有効。

媒介変数表示・陰関数

• x = f(t)、y = g(t) のとき dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
• x² + y² = 1 のように y = の形にできないときは、両辺を x で微分: 2x + 2y · y' = 0 → y' = −x/y

練習してみよう

1. f(x) = x²(x − 3) の f'(2) → 3x² − 6x に代入 → 12 − 12 = 0
2. f(x) = 1/x の f'(3) → −1/9
3. f(x) = (3x − 1)² の f'(1) → 2(3x − 1) × 3 = 6 × 2 = 12
4. f(x) = e⁴ˣ の f'(0) → 4
5. f(x) = ln x の f'(7) → 1/7
6. f(x) = cos 3x の f'(0) → −3 sin 0 = 0
7. f(x) = x⁻¹ の f'(2) → −x⁻² → −1/4

よくある間違い

• × (uv)' = u'v' → u'v + uv'
• × (2x + 1)³ の微分を 3(2x + 1)² で止める → 内側の 2 をかける
• × (cos x)' = sin x → −sin x
• × (ln x)' = ln x や 1 → 1/x

練習の前に

積・商・合成の微分係数、e^(kx)・ln x・sin kx・cos kx の微分係数、負の指数の微分が 20 問。値は整数か分数。
合成関数は「外側 × 内側」を声に出してから書く。