極限

極限 ― 「限りなく近づく先」を求める

まず、身近なところから

1、1/2、1/4、1/8、… とどんどん半分にしていくと、0 にはならないが 限りなく 0 に近づく。
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … と無限にたし続けると、無限に大きくはならず 2 に近づく（アキレスと亀）。
「無限に続けたとき、どこに落ち着くか」を扱うのが 極限。微分・積分の土台になる考え方。

数列の極限

n → ∞ のとき aₙ がある値 α に限りなく近づけば 収束（lim aₙ = α）。そうでなければ 発散。

 収束:  aₙ → α（1 つの値に近づく）
 発散:  正の無限大 ∞ ／ 負の無限大 −∞ ／ 振動（行ったり来たり）

等比数列 rⁿ の極限

分数の形は最高次の項でわる

例 1　${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n+1}{3n-2}$
分母・分子を n でわる: $\frac{2+1/n}{3-2/n}$。n → ∞ で 1/n → 0 なので 2/3。
結局「最高次の係数の比」になる。

無限等比級数 ― 無限にたす

初項 a、公比 r の等比数列を無限にたした和は、|r| < 1 のとき 収束して

$$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=\frac{a}{1-r}$$

理由: 有限の和 a(1 − rⁿ)/(1 − r) で rⁿ → 0 とする。|r| ≧ 1 なら発散。
例 2　2 + 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2/(1 − 1/2) = 4
例 3　3 + 3(1/3) + 3(1/3)² + … = 3/(1 − 1/3) = 9/2

関数の極限

x → ∞ ― 数列と同じく最高次でわる

例 4　${\lim }_{x\to \infty }\frac{3x^2+x}{2x^2+1}$ → x² でわって 3/2

0/0 の形 ― 約分してから代入

例 5　${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
そのまま x = 3 を入れると 0/0 で決まらない。因数分解して約分: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ → x → 3 で 6。
x = 3 そのものは代入できないが、「3 に近づく」だけなら x − 3 ≠ 0 なので約分してよい。

分母に √ があるときは有理化してから約分する。

三角関数の極限 ― 覚える 1 つの式

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

x が小さいとき sin x ≈ x（弧と弦がほぼ同じ長さ）。これから tan x/x → 1、(1 − cos x)/x² → 1/2 も出る。

例 6　${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$
3x = t とおくと $\frac{\sin 3x}{x}=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}$ → 3 × 1 = 3
「sin の中身にそろえて、その分の係数を前に出す」。

e ― 自然対数の底

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e=2.718\dots$$

複利計算の極限として現れる定数。数III の微分積分で eˣ と log x（自然対数 ln x）が主役になる。

連続と中間値の定理

x = a で lim f(x) = f(a) なら 連続。連続な関数で f(a) < 0、f(b) > 0 なら、間に f(c) = 0 となる c がある（中間値の定理）。方程式に解があることの証明に使う。

練習してみよう

1. ${\lim }_{x\to \infty }\frac{4x^2-x}{5x^2+2x+1}$ → 4/5
2. ${\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}$ → x − 2 → −4
3. ${\lim }_{n\to \infty }\frac{-3n+5}{4n-1}$ → −3/4
4. 5 + 5(2/3) + 5(2/3)² + … → 5/(1 − 2/3) = 15
5. (−2)ⁿ の n → ∞ → 振動（発散）
6. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan 4x}{x}$ → 4

よくある間違い

• × 0/0 で「0」や「解なし」と答える → 約分してから 代入
• × 無限等比級数を |r| ≧ 1 でも a/(1 − r) にする → 発散。公式は |r| < 1 のときだけ
• × (−1/3)ⁿ を振動と答える → |r| < 1 なので 0 に収束（符号が交互でも 0 に近づく）
• × sin 3x/x → 1 とする → 中身をそろえて 3

練習の前に

x → ∞ の分数関数（分数可）、0/0 の約分、数列の極限（分数可）、無限等比級数の和（分数可）、収束・発散（4 択）、sin kx/x が 20 問。
「最高次でわる」「約分する」「sin の中身にそろえる」の 3 つの型で解く。