積分（定積分・面積） | 数学学習サイト

積分（定積分・面積）― 微分の逆をたどって面積を出す

まず、身近なところから

速さがわかれば距離がわかる（速さ × 時間）。でも速さが刻々と変わるときは？短い時間ごとの「速さ × 時間」を 全部たす。細かくすればするほど正確になる。
この「細かく分けてたす」操作が積分。微分が「傾きを求める」なら、積分は「面積を求める」。そして驚くことに、積分は 微分の逆 をたどるだけで計算できる。

不定積分 ― 微分したら元に戻る関数

F'(x) = f(x) となる F(x) を f(x) の 不定積分（原始関数）といい、∫f(x)dx と書く。

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$

微分の逆: 「指数を 1 増やして、その数でわる」。C は 積分定数（定数を微分すると 0 になるので、どんな定数でもよい）。

例 1　∫(3x² − 2x + 1)dx = x³ − x² + x + C
確かめ: (x³ − x² + x)' = 3x² − 2x + 1 ✓

定積分 ― 区間を決めて数にする

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

「不定積分を求め、上端を代入したものから下端を代入したものをひく」。C は打ち消されて消える。

例 2　 $\int_{0}^{2} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

例 3　 $\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x = [x^{2} + x]_{1}^{3} = (9 + 3) - (1 + 1) = 10$

定積分の性質

$\int_{a}^{a} = 0$ 、 $\int_{a}^{b} = - \int_{b}^{a}$
区間を分けてたせる: $\int_{a}^{c} = \int_{a}^{b} + \int_{b}^{c}$
偶関数（x²、定数など）は $\int_{- a}^{a} = 2 \int_{0}^{a}$ 、奇関数（x、x³）は $\int_{- a}^{a} = 0$

例 4　 $\int_{- 2}^{2} (3 x^{2} + 5 x + 1) d x$
5x は奇関数で 0。残りは $2 \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x = 2 [x^{3} + x]_{0}^{2}$ = 2 × 10 = 20

面積 ― 定積分の意味

f(x) ≧ 0 のとき、曲線 y = f(x) と x 軸、x = a、x = b で囲まれた面積は $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

      │    ╱‾‾
      │  ╱█████     面積 = ∫ₐᵇ f(x) dx
      │╱███████
 ─────┼──┴─────┴── x
      a         b

2 つの曲線の間: $\int_{a}^{b} (上 - 下) d x$
x 軸より下にある部分は符号がマイナスになるので、|f| をとるか − をつける

例 5　y = x² と x 軸、x = 2 で囲まれた面積 → $\int_{0}^{2} x^{2} d x$ = 8/3

放物線と x 軸の面積の公式（1/6 公式）

y = ax² + bx + c が x 軸と α、β（α < β）で交わるとき、囲まれた面積は

$S = \frac{∣ a ∣ ( β - α ) ^{3}}{6}$

例 6　y = x² − 3x + 2（交点 1、2）→ (2 − 1)³/6 = 1/6
例 7　y = x² − 4（交点 −2、2）→ 4³/6 = 64/6 = 32/3
定積分を計算しても同じ答えになるが、公式なら一瞬。

条件から関数を決める

例 8　F'(x) = 2x、F(0) = 3 のとき F(2)
F(x) = x² + C。F(0) = C = 3 → F(x) = x² + 3 → F(2) = 7

練習してみよう

$\int_{0}^{3} (2 x - 1) d x$ → [x² − x]₀³ = 6
$\int_{- 1}^{2} 3 x^{2} d x$ → [x³] = 8 − (−1) = 9
y = x² と x 軸、x = 3 の面積 → 27/3 = 9
y = x² − 5x + 6 と x 軸の面積 → 交点 2、3 → 1/6
F'(x) = 3x² + 2x、F(0) = −1 → F(1) = 1 + 1 − 1 = 1
$\int_{- 1}^{1} (x^{2} - 4 x + 3) d x$ → 2[x³/3 + 3x]₀¹ = 2(1/3 + 3) = 20/3

よくある間違い

× ∫x² dx = 2x → それは微分。積分は x³/3
× 定積分で F(a) − F(b) とひく順を逆にする → 上端 − 下端
× x 軸より下の面積を負のまま答える → 面積は正。符号を直す
× 1/6 公式で (β − α)² にする → 3 乗

練習の前に

一次式・二次式の定積分、放物線と x 軸の面積（1/6 公式）、初期条件から F(a)、対称区間の定積分が 20 問。答えは分数可（8/3 のように）。
奇関数の項は先に消す。放物線の面積は 1/6 公式。