微分（導関数・接線・増減）

微分（導関数・接線・増減）― 「変化の速さ」を関数にする

まず、身近なところから

車のスピードメーターは「今この瞬間の速さ」を示す。でも速さ = 距離 ÷ 時間で、「瞬間」は時間 0 だから割れないはず。
「ものすごく短い時間での平均の速さ」の極限をとる。これが微分。曲線のグラフなら「その点での傾き」= 接線の傾き。
中 3 の y = ax² では「変化の割合」が区間によって違って困った。微分は、それを 1 点ごと に決める道具。

微分係数 ― 1 点での傾き

x = a から少し（h）進んだときの平均変化率 {f(a + h) − f(a)}/h で、h → 0 の極限が 微分係数 f'(a)。

        ╱ 接線（傾き f'(a)）
      ●╱
     ╱│
    ╱ │ f(a+h) − f(a)
   ●──┘
    h        h → 0 で 接線の傾きに近づく

導関数 ― 傾きを x の関数として

各 x での微分係数を関数として見たものが 導関数 f'(x)。求め方の公式:

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}, (c)^{'} = 0 (c は定数)$

「指数を前に出して、指数を 1 減らす」。項ごとに微分してよい（和・差・定数倍はそのまま）。

例 1　f(x) = x³ − 3x + 1
x³ → 3x²、−3x → −3、1 → 0 → f'(x) = 3x² − 3
f'(2) = 12 − 3 = 9（x = 2 での接線の傾き）

接線の方程式

曲線 y = f(x) 上の点 (a, f(a)) での接線: y − f(a) = f'(a)(x − a)（傾き f'(a) で点 (a, f(a)) を通る直線）。

例 2　y = x² 上の x = 1 の点
f'(x) = 2x → 傾き f'(1) = 2、点 (1, 1) → y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1

増減 ― f' の符号でグラフの上り下りがわかる

f'(x) > 0 の区間 → f は増加（傾きが正）
f'(x) < 0 の区間 → f は減少
f'(x) = 0 で符号が + → − に変わる点が極大、− → + が極小

例 3　f(x) = x³ − 3x
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x + 1)(x − 1)。f' = 0 は x = −1、1。

x	…	−1	…	1	…
f'	+	0	−	0	+
f	↗	2	↘	−2	↗

増減表から: x = −1 で 極大値 2、x = 1 で 極小値 −2。増加するのは x < −1 または x > 1。

       ●(−1, 2)
      ╱ ╲
     ╱   ╲
 ───┼─────╲─────┼─── x
             ╲ ╱
              ●(1, −2)

最大・最小 ― 区間があるときは端も候補

a ≦ x ≦ b での最大・最小は、極値と両端 f(a)、f(b) を比べる（二次関数のときと同じ発想）。

練習してみよう

f(x) = 2x³ − x² + 4x − 1 の f'(x) → 6x² − 2x + 4
f(x) = x³ + 2x² − 5x の f'(1) → 3 + 4 − 5 = 2
y = 3x² − 4x 上の x = 2 での接線の傾き → 6 × 2 − 4 = 8
f(x) = x³ − 12x の極大値 → f' = 3(x + 2)(x − 2)、x = −2 で −8 + 24 = 16
f(x) = x³ − 6x² + 9x が極値をとる x → f' = 3(x − 1)(x − 3) → x = 1, 3（大きい方 3）
f(x) = x³ − 27x が増加する範囲 → f' = 3(x + 3)(x − 3) > 0 → x < −3 または x > 3

よくある間違い

× (x³)' = x² → 指数を 前に出す。3x²
× 定数項をそのまま残す（(x² + 5)' = 2x + 5）→ 定数の微分は 0
× f'(a) = 0 なら必ず極値と思う → 符号が 変わる ときだけ（x³ の x = 0 は極値でない）
× 極大値を「x の値」で答える → 極大値は f の値。x は「極大となる x」

練習の前に

導関数（式で入力。3x^2-3 のように）、f'(a) の値、接線の傾き、極大値、極値をとる x、増加する範囲（4 択）が 20 問。
「微分 → = 0 の x → 増減表」の手順を型にする。