対数関数 | 数学学習サイト

対数関数 ― 「何乗すればよいか」を求める

まず、身近なところから

「2 を何乗すると 8 になる？」→ 3 乗。「2 を何乗すると 1000 になる？」→ 9 乗で 512、10 乗で 1024 だから 9 と 10 の間…。
この「何乗すればよいか」という数に名前をつけたのが対数 log。指数関数の逆の操作。
地震のマグニチュード、音の dB、pH は全部対数。桁が大きく変わる量を扱いやすくする道具。

定義 ― 指数と対数は同じことの裏表

$a^p = M \quad \Longleftrightarrow \quad p = \log_a M \qquad (a > 0, a \neq 1, M > 0)$

log_a M は「a を何乗すると M になるか」。a を底、M を真数という。

 2³ = 8      ⇔  log₂ 8 = 3
 10² = 100   ⇔  log₁₀ 100 = 2
 5⁰ = 1      ⇔  log₅ 1 = 0
 3¹ = 3      ⇔  log₃ 3 = 1

例 1　log₂ 32 → 2 を何乗で 32？ → 2⁵ = 32 → 5
例 2　log₃ x = 4 → x = 3⁴ = 81

対数の性質 ― 指数法則の言いかえ

指数法則「かけたらたす」を log で書き直すと

性質	由来
log_a MN = log_a M + log_a N	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
log_a (M/N) = log_a M − log_a N	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
log_a Mʳ = r log_a M	(aᵐ)ʳ = aᵐʳ

例 3　log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ 32 = 5（3 + 2 でも同じ）

底の変換公式

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$

底がそろっていないとき、好きな底 c に直せる。
例 4　log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2

対数関数 y = log_a x のグラフ

y = aˣ の x と y を入れかえたもの（逆関数）。グラフは y = x について対称。

      │        ╱ y = 2ˣ
      │      ╱
      │    ╱     ___
      │  ╱   __╱     y = log₂ x
      │╱  __╱
 ─────┼─╱──────── x
      │╱  (1, 0) を通る

定義域 x > 0（真数は正。これを 真数条件 という）
(1, 0) を通る（log_a 1 = 0）
a > 1 で増加、0 < a < 1 で減少

方程式・不等式

例 5　log₂ x = 5 → x = 2⁵ = 32
例 6　log₃ x < 2 → 底 3 > 1 なので x < 3² = 9。真数条件 x > 0 と合わせて 0 < x < 9。正の整数解は 1〜8 の 8 個

真数条件を忘れると x ≦ 0 も答えに入れてしまう。

常用対数と桁数

底 10 の対数を 常用対数 という。log₁₀ 2 = 0.3010、log₁₀ 3 = 0.4771 は覚える（問題文に与えられる）。

例 7　2³⁰ は何桁？
log₁₀ 2³⁰ = 30 × 0.3010 = 9.03。10⁹ < 2³⁰ < 10¹⁰ なので 10 桁（整数部分 + 1）。
2³⁰ = 1073741824 を計算せずに桁数がわかる。

 log₁₀ N の整数部分が k  ⇔  N は (k + 1) 桁

練習してみよう

log₅ 125 → 3
log₂ 16 + log₂ 8 → 4 + 3 = 7
log₂ x = 6 → 64
log₉ 27 → log₃ 27 / log₃ 9 = 3/2
3²⁰ の桁数 → 20 × 0.4771 = 9.54 → 10 桁
log₂ x < 4 の正の整数解 → 0 < x < 16 → 15 個

よくある間違い

× log₂ 8 = 4 → 2 を何乗で 8 か。2³ = 8 で 3
× log(M + N) = log M + log N → たし算になるのは積 log MN
× 桁数を整数部分そのもの（9）にする → + 1 で 10 桁
× 不等式で真数条件を忘れる → x > 0 を必ず合わせる

練習の前に

定義、和、方程式、底の変換（分数可）、桁数、不等式の整数解の個数が 20 問。
「a を何乗で M か」と読みかえる。桁数は log の整数部分 + 1。