指数関数 ― 「何乗」を整数以外にも広げる
まず、身近なところから
細菌が 1 時間で 2 倍に増える。3 時間後は 2³ = 8 倍。では 30 分後は？ 「2 の 0.5 乗」が必要になる。
2⁻¹ や 2^(1/2) に意味を与えて、指数を すべての実数 に広げると、増え方・減り方を表す 指数関数 ができる。
指数法則（中学の復習 + 拡張）
| 法則 | 式 | 例 |
|---|---|---|
| 積 | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| 商 | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2⁵ ÷ 2² = 2³ |
| 累乗の累乗 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2³)⁴ = 2¹² |
| 積の累乗 | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 4 × 9 |
「かけたらたす、累乗したらかける」。
指数の拡張 ― 0 乗・負の指数・分数の指数
法則が成り立つように決めると、自然に定まる。
- a⁰ = 1（aᵐ ÷ aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰、左辺は 1）
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a³ ÷ a⁵ = a⁻²、左辺は 1/a²）。2⁻³ = 1/8
- a^(1/n) = ⁿ√a（(a^(1/n))ⁿ = a¹ = a だから n 乗根）。8^(1/3) = 2、16^(1/2) = 4
- a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
2³ = 8
2² = 4 ← ÷2
2¹ = 2 ← ÷2
2⁰ = 1 ← ÷2 自然につながる
2⁻¹ = 1/2 ← ÷2
2⁻² = 1/4 ← ÷2指数関数 y = aˣ のグラフ
a > 1（例: y = 2ˣ） 0 < a < 1（例: y = (1/2)ˣ）
│ ╱ ╲ │
│ ╱ ╲ │
1├──╱ ╲──┤1
─────┼────── x ────────┼──── x
右上がり（増加） 右下がり（減少）- 常に y > 0（x 軸が漸近線。届かない）
- (0, 1) を必ず通る（a⁰ = 1）
- a > 1 なら増加、0 < a < 1 なら減少
指数方程式 ― 底をそろえて指数を比べる
例 1 2ˣ = 32 → 32 = 2⁵ → x = 5
例 2 3ˣ⁺¹ = 81 → 81 = 3⁴ → x + 1 = 4 → x = 3
例 3 4ˣ = 8 → (2²)ˣ = 2³ → 2x = 3 → x = 3/2（底を 2 にそろえる）
指数不等式 ― 底が 1 より小さいときは向きが逆
例 4 (1/2)ˣ < 1/8
(1/2)ˣ < (1/2)³。底 1/2 は 1 より小さい（減少関数）ので、指数の大小は 逆: x > 3
底を 2 にそろえて 2⁻ˣ < 2⁻³ → −x < −3 → x > 3 としてもよい。
大小比較 ― 底か指数をそろえる
2¹⁰ = 1024、3⁶ = 729、5⁴ = 625、10³ = 1000。値を計算できるものは計算する。
そろえられるなら: 2¹⁰ と 4⁴ = 2⁸ → 2¹⁰ が大きい。
練習してみよう
- 3⁴ × 3⁵ = 3ᵏ → k = 9
- (2³)⁴ = 2ᵏ → k = 12
- 27^(1/3) → 3
- 5⁻² → 1/25
- 2ˣ = 64 → x = 6
- 3ˣ⁺² = 243 → x + 2 = 5 → x = 3
- 2¹⁰、3⁶、5⁴、10³ で最大 → 2¹⁰
よくある間違い
- × 2⁻³ = −8 → 負の指数は 逆数。1/8
- × 2³ × 2⁴ = 2¹² → 積は指数を たす。2⁷
- × (1/2)ˣ < 1/8 → x < 3 → 底が 1 より小さいと 向きが逆。x > 3
- × 8^(1/3) = 8/3 → 分数の指数は 累乗根。2
練習の前に
指数法則の k、累乗根、負の指数（分数）、指数方程式、大小（4 択）が 20 問。
「底をそろえる」が全部の基本動作。