三角関数（加法定理）

三角関数（加法定理）― 角を「回転」として扱う

まず、身近なところから

数I の三角比は 0°〜180° の角の「比」だった。観覧車は 1 周 360° を超えて回り続ける。波や振動は正負に振れ続ける。
角を 回転の量 として無限に広げ、sin・cos を 関数 として扱うのが三角関数。角度の単位も、円の弧の長さを基準にした ラジアン に変わる。

弧度法 ― 180° = π

半径 1 の円で、弧の長さが 1 になる中心角を 1 ラジアン と決める。円周は 2π だから 360° = 2π、180° = π。

変換: 度 × π/180。60° = 60/180 π = π/3。
半径 r、中心角 θ（ラジアン）の弧の長さは rθ、扇形の面積は (1/2)r²θ。ラジアンだと公式が簡単になるのが採用の理由。

単位円と一般角

原点中心・半径 1 の円で、x 軸から反時計回りに θ 回った点の座標が (cos θ, sin θ)。

          y
          │   ● (cos θ, sin θ)
          │  ╱
          │ ╱ θ
 ─────────┼──────── x
          │

• θ は 2π を超えても、負でもよい（一般角）
• 1 周すると元に戻る: sin(θ + 2π) = sin θ（周期 2π）。tan の周期は π
• sin(−θ) = −sin θ、cos(−θ) = cos θ、sin(π − θ) = sin θ、cos(π − θ) = −cos θ

例 1　sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2
例 2　cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2

周期 ― y = sin kx は 2π/k で 1 周

x の係数 k が大きいほど早く 1 周する。y = sin kx、cos kx の周期は 2π/k、tan kx は π/k。
例 3　y = sin 3x の周期 → 2π/3

加法定理 ― 角の和・差の sin・cos

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$
$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

覚え方: sin は「咲いたコスモス、コスモス咲いた」（sin cos + cos sin）、cos は「コスモスコスモス、咲いた咲いた」（cos cos − sin sin、符号が逆）。

例 4　α、β が鋭角で sin α = 3/5、sin β = 5/13 のとき sin(α + β)
cos α = 4/5、cos β = 12/13（三平方）。
sin(α + β) = (3/5)(12/13) + (4/5)(5/13) = 36/65 + 20/65 = 56/65

2 倍角の公式 ― 加法定理で β = α

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$
$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$$

例 5　sin α = 3/5（鋭角）→ sin 2α = 2 × (3/5)(4/5) = 24/25、cos 2α = 1 − 2 × 9/25 = 7/25

三角関数の合成 ― a sin θ + b cos θ を 1 つにまとめる

$$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$$

sin と cos の混ざった式を 1 つの sin にする。最大値は √(a² + b²)、最小値は −√(a² + b²)。

例 6　3 sin θ + 4 cos θ の最大値 → √(9 + 16) = 5

練習してみよう

1. 45° をラジアンで → π/4（k = 4）
2. y = cos 4x の周期 → 2π/4 = π/2（k = 1/2）
3. cos(π) → −1、sin(3π/2) → −1
4. sin α = 5/13、sin β = 3/5（鋭角）の cos(α − β) → (12/13)(4/5) + (5/13)(3/5) = 63/65
5. sin α = 8/17（鋭角）の sin 2α → 2 × (8/17)(15/17) = 240/289
6. 5 sin θ + 12 cos θ の最大値 → 13

よくある間違い

• × 180° = 2π とする → 180° = π、360° = 2π
• × cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β → cos は マイナス
• × sin 2α = 2 sin α とする → 2 sin α cos α
• × 合成の最大値を a + b とする → √(a² + b²)

練習の前に

加法定理・2 倍角の値（分数）、度 → ラジアン、周期（分数可）、単位円の値、合成の最大値が 20 問。
加法定理では、まず三平方で cos（または sin）をそろえてから代入する。