式と証明（二項定理・恒等式）― 式を「構造」で扱う
まず、身近なところから
(x + 2)⁵ の x³ の係数はいくつ？ 5 回かけて展開すれば出るが、面倒だし間違えやすい。
「展開せずに係数だけ取り出す」「わり算せずに余りだけ出す」「x が何であっても成り立つ等式から係数を決める」。式を丸ごと計算するのではなく 構造 から答えを引き出す技をまとめた単元。
二項定理 ― 展開の係数は組合せで決まる
(a + b)ⁿ = (a + b)(a + b)…(a + b) の n 個のかっこから、b を k 個、a を n − k 個選ぶ選び方が ₙCₖ 通り。だから aⁿ⁻ᵏbᵏ の係数は ₙCₖ。
例 1 (x + 2)⁵ の x³ の係数
x³ になるのは x を 3 個、2 を 2 個選ぶとき: ₅C₂ × 2² = 10 × 4 = 40
パスカルの三角形（ₙCₖ を並べたもの）
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1例 2 (x − 3)⁴ の x² の係数 → ₄C₂ × (−3)² = 6 × 9 = 54（負の数は符号ごと累乗）
恒等式 ― x に何を入れても成り立つ等式
「x² − 1 = (x + 1)(x − 1)」はどんな x でも成り立つ。これが 恒等式（方程式は特定の x でだけ成り立つ）。
恒等式なら 両辺の同じ次数の係数が等しい。これを使って未知の係数を決める（係数比較）。
例 3 (x + 2)(x + 3) = x² + bx + c が恒等式のとき
左辺を展開 x² + 5x + 6。係数を比べて b = 5、c = 6
別の方法: x = 0 を代入して 6 = c、x = 1 で 12 = 1 + b + 6 → b = 5（数値代入法）。
剰余の定理 ― わり算せずに余りを出す
多項式 P(x) を x − a でわった余りは P(a)。
理由: P(x) = (x − a)Q(x) + R と書ける（R は定数）。x = a を代入すると (x − a) の項が 0 になり P(a) = R。
例 4 P(x) = x³ − 3x + 1 を x − 2 でわった余り → P(2) = 8 − 6 + 1 = 3
筆算しなくてよい。x + 1 でわるなら P(−1)（x − (−1) と見る）。
因数定理 ― 余りが 0 なら因数
P(a) = 0 ⇔ x − a は P(x) の因数（剰余の定理で余り 0 の場合）。
例 5 P(x) = x² − x − 6 で P(k) = 0 となる k
P(3) = 9 − 3 − 6 = 0 → x − 3 は因数 → k = 3（P(x) = (x − 3)(x + 2) なので k = −2 も）
3 次式の因数分解は「P(a) = 0 になる a を探す → x − a でわる」の順で進める。
相加平均・相乗平均 ― 不等式の証明の定番
a > 0、b > 0 のとき
理由: (√a − √b)² ≧ 0 を展開すると a − 2√(ab) + b ≧ 0。
例 6 x > 0 のとき x + 4/x の最小値
x と 4/x に適用: x + 4/x ≧ 2√(x · 4/x) = 2√4 = 4。等号は x = 4/x つまり x = 2。
「積が一定の 2 数の和」を見たらこの形。
練習してみよう
- (x + 1)⁶ の x⁴ の係数 → ₆C₂ × 1² = 15
- (x − 2)³ の x の係数 → ₃C₂ × (−2)² = 3 × 4 = 12
- x³ + 2x − 5 を x − 1 でわった余り → 1 + 2 − 5 = −2
- (x − 4)(x + 1) = x² + bx + c の c → −4
- x > 0 で x + 9/x の最小値 → 2√9 = 6
- P(x) = x² + 3x − 4 で P(k) = 0 の k → (x + 4)(x − 1) → 1（または −4）
よくある間違い
- × x³ の係数を ₅C₃ の 10 だけにする → 2² もかける。40
- × x + 1 でわった余りを P(1) とする → x − (−1) なので P(−1)
- × 恒等式の係数比較で片方の辺だけ展開して見比べる → 両辺を同じ形 にしてから比較
- × 相加相乗で最小値を求めて等号条件を確かめない → 等号が成り立つ x があるか 確認
練習の前に
二項係数、剰余の定理、恒等式の係数、相加相乗平均の最小値、因数定理（4 択）が 20 問。数は整数。
「展開しない・わり算しない」で答えを出す道具として使う。