データの分析（分散・相関）

データの分析（分散・相関）― 散らばりと関係の強さを数にする

まず、身近なところから

A さんのテストは 60, 70, 80、B さんは 40, 70, 100。平均はどちらも 70 点。でも B さんの方が ばらつきが大きい。
中 2 の箱ひげ図は「範囲」でばらつきを見た。高校では 分散・標準偏差 という 1 つの数で表す。さらに「身長と体重」のような 2 つの量の関係の強さ を 相関係数 で表す。

偏差 ― 平均からのずれ

データ 4, 6, 8, 10, 12 の平均は 8。各値から平均をひいたものが 偏差:

偏差をそのまま平均すると必ず 0 になる（プラスとマイナスが打ち消す）。そこで 2 乗 してから平均する。

分散と標準偏差

$$\text{分散 }{s}^2=\frac{(\text{偏差}{)}^2\text{ の合計}}{\text{個数}}$$
$$\text{標準偏差 }s=\sqrt{\text{分散}}$$

例 1　上のデータ: 偏差の 2 乗 16, 4, 0, 4, 16 → 合計 40 → 分散 40 ÷ 5 = 8、標準偏差 √8 = 2√2 ≈ 2.83

分散は「2 乗」の単位（点²）なので、元の単位に戻したのが標準偏差。「平均から約 2.8 点ばらついている」と読める。

もう 1 つの計算法

$$\text{分散}=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2(\text{2 乗の平均}-\text{平均の 2 乗})$$

例 2　平均 5、分散 3 → x² の平均 = 3 + 25 = 28

変量の変換 ― 全員に同じ操作をしたら

y = ax + b（全員の点数を a 倍して b 点たす）とすると

b をたしても ばらつきは変わらない（全員が同じだけずれるだけ）。a 倍するとばらつきは a 倍、分散はその 2 乗。

例 3　平均 12 のデータを y = 3x + 2 に → 平均 3 × 12 + 2 = 38

相関 ― 2 つの量の関係

x（身長）と y（体重）を点で打ったものが 散布図。

 正の相関           負の相関           相関なし
 y    ●            y ●                y  ●   ●
    ●  ●              ●  ●               ●  ●
   ●  ●                 ●  ●            ●   ●  ●
  ●                        ●  ●          ●    ●
 ─────── x         ─────────── x       ─────────── x
 右上がり           右下がり            ばらばら

• 一方が増えると他方も増える → 正の相関（勉強時間と点数）
• 一方が増えると他方は減る → 負の相関（気温と暖房費）
• 関係なし → 相関なし（くじ番号と当たり）

相関係数 r ― 関係の強さを −1〜1 で

$$r=\frac{\text{共分散 }{s}_{xy}}{s_x{s}_y}$$

• 共分散 s_xy = （x の偏差 × y の偏差）の平均。同じ向きにずれると正、逆向きなら負
• それを標準偏差の積でわって、単位に依存しない −1 〜 1 の数にする

例 4　s_x = 2、s_y = 3、共分散 −3 → r = −3 ÷ 6 = −0.5

練習してみよう

1. 5, 7, 9, 11, 13 の分散 → 平均 9、偏差² 16, 4, 0, 4, 16 → 8
2. 4, 8, 10, 12, 16 の標準偏差 → 平均 10、分散 (36 + 4 + 0 + 4 + 36)/5 = 16 → √16 = 4
3. 平均 4、分散 5 → x² の平均 = 21
4. 「走る速さが速いほどタイムは短い」→ 負の相関
5. s_x = 3、s_y = 2、共分散 6 → r = 1
6. 平均 15、y = 2x + 5 → 平均 35

よくある間違い

• × 偏差をそのまま平均する → 必ず 0。2 乗 してから
• × 分散を個数 − 1 でわる → 高校の教科書では 個数 でわる
• × 変換 y = ax + b で分散に b が影響すると思う → b は 平均だけ に影響
• × 相関係数を 1 より大きい値にする → r は −1 ≦ r ≦ 1

練習の前に

分散、標準偏差、x² の平均、相関の種類（4 択）、相関係数、変換後の平均が 20 問。数は整数か小数。
分散は「偏差 → 2 乗 → 平均」の順に。