三角比

三角比 ― 直角三角形の「辺の比」に名前をつける

まず、身近なところから

木の高さを測りたいが登れない。木から 10 m 離れて先端を見上げたら、角度は 30° だった。
角度と距離から高さを出す道具が 三角比。直角三角形では、1 つの角が決まれば 辺の比は必ず同じ になる（相似だから）。その比に名前をつけたのが sin・cos・tan。

定義

直角三角形で、角 A に注目する。

          ╱│
         ╱ │
   斜辺 ╱  │ 対辺（A の向かい）
       ╱   │
      ╱ A  │
     ╱─────┘
       隣辺（A のとなり）

$$\sin A=\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}},\cos A=\frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}},\tan A=\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$$

覚え方: 筆記体の s、c、t の書き順。s は斜辺→対辺、c は斜辺→隣辺、t は隣辺→対辺。

例 1　対辺 3、隣辺 4、斜辺 5 の直角三角形 → sin A = 3/5、cos A = 4/5、tan A = 3/4

有名角 ― 30°・45°・60°

2 つの特別な三角形から値が決まる。

 30°-60°-90°（正三角形の半分）   45°-45°-90°（正方形の半分）
        ╱│                            ╱│
     2 ╱ │ √3                      √2╱ │ 1
      ╱30│                          ╱45│
     ╱───┘                         ╱───┘
       1                             1

sin は 30° → 60° で大きくなり、cos は小さくなる。tan 45° = 1（対辺 = 隣辺）。

相互関係 ― 1 つわかれば残りが出る

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$

1 つ目は三平方の定理そのもの（対辺² + 隣辺² = 斜辺² を斜辺² でわる）。

例 2　sin θ = 3/5（θ は鋭角）のとき cos θ
cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25 → cos θ = 4/5（鋭角なので正）
例 3　sin θ = 3/5、cos θ = 4/5 のとき tan θ = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4

90° − θ ― sin と cos が入れかわる

直角三角形のもう一方の角は 90° − θ。そちらから見ると対辺と隣辺が入れかわるので

$$\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta ,\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta$$

例 4　sin 70° = cos 20°、cos 35° = sin 55°

鈍角の三角比 ― 180° − θ

90° を超える角は直角三角形が作れない。そこで 半径 1 の円 の上の点 (x, y) で定義し直す: cos θ = x、sin θ = y。

        y
   ●    │    ●      ← 120° の点は 60° の点と y 軸対称
  ╱     │     ╲        x 座標の符号だけ逆
 ╱ 120° │ 60°  ╲
────────┼──────── x

$$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$$

例 5　cos 120° = −cos 60° = −1/2、cos 150° = −cos 30° = −√3/2

練習してみよう

1. 対辺 5、隣辺 12、斜辺 13 → sin = 5/13、cos = 12/13、tan = 5/12
2. sin 30° → 1/2、cos 60° → 1/2、tan 45° → 1
3. sin θ = 8/17（鋭角）→ cos θ = 15/17
4. cos 25° と等しいのは → sin 65°
5. cos 135° → −cos 45° = −√2/2

よくある間違い

• × sin と cos を逆にする → sin は 対辺、cos は 隣辺（s・c の筆記体）
• × cos 120° = 1/2 → 鈍角の cos は 負。−1/2
• × sin²θ + cos²θ = 1 から cos θ = 1 − sin θ とする → 2 乗 の関係。cos²θ = 1 − sin²θ
• × sin(90° − θ) = sin θ → 90° − θ で sin ↔ cos が入れかわる

練習の前に

直角三角形からの値（分数）、有名角、相互関係、90° − θ（4 択）、鈍角の cos（4 択）が 20 問。分数は 3/5 のように入力。
図を描いて「対辺・隣辺・斜辺」に印をつけてから比を読む。