二次方程式・二次不等式

二次方程式・二次不等式 ― グラフと x 軸の関係で解く

まず、身近なところから

中 3 で二次方程式を解いた。高校では「解はいくつあるか」を解かずに判定し、さらに「x² − 5x + 6 < 0 になる x の範囲は？」という 二次不等式 を扱う。
どちらも鍵は 1 つ。放物線と x 軸がどう交わっているか を見ること。

判別式 D ― 解の個数を解かずに知る

ax² + bx + c = 0 の解の公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ の √ の中身を 判別式 D = b² − 4ac という。

 D > 0            D = 0            D < 0
   ╲    ╱           ╲    ╱           ╲    ╱
 ───●──●───      ─────●─────       ─────────  ← x 軸に届かない
   2 個の解        重解 1 個         実数解なし

• D > 0: √ の中が正 → 異なる 2 つの実数解
• D = 0: √ の中が 0 → 解が 1 つ（重解）
• D < 0: √ の中が負 → 実数解なし（グラフが x 軸と交わらない）

例 1　x² + 2x + 5 = 0 → D = 4 − 20 = −16 < 0 → 実数解なし
例 2　2x² − 3x − 1 = 0 → D = 9 + 8 = 17

二次不等式 ― グラフが x 軸の上か下か

例 3: x² − 5x + 6 < 0

1. 左辺を因数分解: (x − 2)(x − 3) < 0
2. y = (x − 2)(x − 3) のグラフは x = 2、3 で x 軸と交わる下に凸の放物線
3. 「< 0」= グラフが x 軸より 下 → 2 つの交点の 間

        ╲          ╱
  ───────●────────●───────  x
         2  ↓↓↓↓  3
            この範囲で y < 0

解は 2 < x < 3

例 4: x² − 5x + 6 > 0
グラフが x 軸より 上 → 交点の 外側 → x < 2 または 3 < x

 a > 0 のとき、解 α < β について
 (x − α)(x − β) < 0  →  α < x < β         （内側）
 (x − α)(x − β) > 0  →  x < α または β < x （外側）
 ≦、≧ なら端の α、β を含む

整数解の個数

例 5　(x − 1)(x − 5) ≦ 0 → 1 ≦ x ≦ 5 → 整数は 1, 2, 3, 4, 5 の 5 個（両端を含むので 5 − 1 + 1）

「すべての実数 x で成り立つ」条件

例 6　x² + 6x + k > 0 がすべての x で成り立つ k の範囲
グラフが x 軸より常に上 = x 軸と交わらない = D < 0。
36 − 4k < 0 → k > 9。最小の整数 k は 10。

      ╲    ╱
       ╲  ╱     ← 全体が x 軸の上（D < 0）
        ╲╱
  ──────────────  x

練習してみよう

1. 3x² − 4x + 2 = 0 の D → 16 − 24 = −8
2. x² − 6x + 9 = 0 の実数解の個数 → D = 36 − 36 = 0 → 1 個（重解）
3. x² − 3x − 10 < 0 の解 → (x + 2)(x − 5) < 0 → −2 < x < 5（β = 5）
4. x² − 4x − 5 ≦ 0 の整数解の個数 → −1 ≦ x ≦ 5 → 7 個
5. x² − x − 6 > 0 の解 → x < −2 または 3 < x
6. x² + 4x + k > 0 が常に成り立つ最小の整数 k → 16 − 4k < 0 → k > 4 → 5

よくある間違い

• × D の計算で −4ac の符号を落とす（c が負のとき）→ −4 × a × (−c) = +4ac
• × 「< 0」の解を外側にする → 下に凸なら < 0 は内側、> 0 は外側
• × 整数解を b − a 個とする → 両端を含むなら b − a + 1
• × 「常に正」を D > 0 と思う → 交わらない = D < 0

練習の前に

判別式の値、実数解の個数（4 択）、不等式の解の境界、整数解の個数、外側の解（4 択）、常に正になる k が 20 問。数は整数。
不等式は必ずグラフを描いて「上か下か」で判断する。