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二次関数のグラフ

二次関数のグラフ ― 頂点を見つければ形が決まる

まず、身近なところから

中 3 の y = ax² は、頂点が必ず原点だった。高校では y = x² − 6x + 5 のように、頂点が どこか別の場所 にある放物線を扱う。
どこに頂点があるかを見つける技が 平方完成。これができれば、グラフも最大・最小も不等式も全部解ける。

頂点の形 y = a(x − p)² + q

y = a(x − p)² + q の形なら、頂点は (p, q)、軸は 直線 x = p。

   y = (x − 3)² − 4
        y
        │        ╱
        │  ╲    ╱
   ─────┼───╲──╱───── x
        │    ╲╱   ← 頂点 (3, −4)
        │    3
        軸 x = 3

理由: (x − 3)² は x = 3 のとき最小の 0 になり、そのとき y = −4。つまり y = x² のグラフを 右に 3、下に 4 ずらした形。
符号に注意: (x − 3)² の頂点は x = +3、(x + 3)² なら x = −3。

平方完成 ― y = ax² + bx + c を頂点の形に

例 1: y = x² − 6x + 5

  1. x の係数 −6 の 半分 は −3。その 2 乗は 9
  2. x² − 6x に 9 をたせば (x − 3)² になる。たした分をひく:

y = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4

  1. 頂点 (3, −4)、軸 x = 3
 x² − 6x + 5
 = (x − 3)² − 9 + 5      ← 半分の 2 乗をたしてひく
 = (x − 3)² − 4

例 2: a ≠ 1 のとき　y = 2x² + 8x + 3

  1. x² と x の項を a でくくる: 2(x² + 4x) + 3
  2. かっこの中を平方完成: 2{(x + 2)² − 4} + 3
  3. 展開して整理: 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5

頂点 (−2, −5)

軸の公式

平方完成せずに軸だけ知りたいなら x = −b/(2a)。
y = x² − 6x + 5 → x = 6/2 = 3。y = 2x² + 8x + 3 → x = −8/4 = −2。

y 切片

x = 0 のときの y。y = ax² + bx + c なら c。
頂点の形 y = 2(x − 1)² + 3 なら x = 0 を代入して 2 × 1 + 3 = 5。

平行移動 ― x を x − p に、y を y − q に置きかえる

y = ax² を x 軸方向に p、y 軸方向に q 動かすと y = a(x − p)² + q。
「右に 3 動かすのに x − 3」と符号が逆に見えるのがつまずきポイント。
理由: 元のグラフで x = 0 だった点が、新しいグラフでは x = 3 にある。新しい x から 3 を引くと元の x に戻る。

例 3　y = −2x² を x 軸方向に 1、y 軸方向に −4 → y = −2(x − 1)² − 4

グラフの形

a > 0 なら下に凸（谷）、a < 0 なら上に凸（山）。|a| が大きいほど細い。中 3 と同じ。

練習してみよう

  1. y = (x + 2)² − 3 の頂点 → (−2, −3)
  2. y = x² + 4x + 1 を平方完成 → (x + 2)² − 4 + 1 = (x + 2)² − 3 → 頂点 (−2, −3)
  3. y = 3x² − 12x + 7 の軸 → x = 12/6 = 2
  4. y = −(x − 4)² + 6 の y 切片 → −16 + 6 = −10
  5. y = x² を x 軸方向に −3、y 軸方向に 2 → y = (x + 3)² + 2

よくある間違い

練習の前に

頂点の座標、平方完成、軸、y 切片、平行移動後の式（4 択）が 20 問。答えは整数。
「x の係数の半分」を出すことから始める。