集合と命題

集合と命題 ― 「ものの集まり」と「正しい言い方」のルール

まず、身近なところから

クラス 40 人のうち、部活に入っている人が 25 人、塾に通っている人が 18 人、両方の人が 10 人。部活か塾のどちらかに入っている人は？
25 + 18 = 43 は 40 人を超えてしまう。両方の 10 人を 2 回数えている からだ。
「集まり」を正しく数え、「ならば」を正しく使うための道具が 集合 と 命題。

集合のことば

• 集合: ものの集まり。A = {1, 2, 3}
• 要素: 集合に入っているもの。2 ∈ A（2 は A の要素）
• n(A): A の要素の個数。n(A) = 3

和集合・共通部分・補集合

 全体集合 U
 ┌─────────────────────────┐
 │    A          B          │
 │  ╭─────╮  ╭─────╮        │
 │  │     │╲╱│     │        │
 │  │     ╳  │     │        │
 │  ╰─────╯╱╲╰─────╯        │
 │      A ∩ B（重なり）      │
 └─────────────────────────┘

例 1　A = {1, 2, 3, 5}、B = {2, 3, 6, 8}
A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6, 8}（6 個）、A ∩ B = {2, 3}（2 個）

個数の公式 ― 重なりを 1 回ひく

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

例 2　冒頭の問題: 25 + 18 − 10 = 33 人
例 3　1〜100 のうち 2 の倍数または 3 の倍数
2 の倍数 50 個、3 の倍数 33 個、両方（6 の倍数）16 個 → 50 + 33 − 16 = 67 個

補集合は n(Ā) = n(U) − n(A)。U = {1, …, 10}、n(A) = 4 なら n(Ā) = 6。

命題 ― 正しいか正しくないかが決まる文

「p ならば q」（p ⇒ q）の形の文を 命題 という。

• 常に成り立つ → 真
• 成り立たない例（反例）が 1 つでもある → 偽

「x = 2 ならば x² = 4」は真。「x² = 4 ならば x = 2」は偽（反例: x = −2）。

必要条件・十分条件

p ⇒ q が真のとき

 p ⇒ q
 p は q であるための 十分条件（p があれば q には十分）
 q は p であるための 必要条件（p であるには q が必要）

覚え方: 矢印の 根元が十分、先が必要。両方向に成り立てば 必要十分条件。

例 4　「x = 2」は「x² = 4」であるための？
x = 2 ⇒ x² = 4 は真、逆は偽 → 十分条件（必要条件でない）

例 5　「x が 3 の倍数」は「x が 6 の倍数」であるための？
6 の倍数 ⇒ 3 の倍数 は真（逆は偽: 9）。矢印は q → p の向き → p は 必要条件（十分条件でない）

例 6　「x = 1」と「2x = 2」→ 両方向に真 → 必要十分条件

否定 ― ひっくり返すルール

「x = 0 かつ y = 0」の否定は「x ≠ 0 または y ≠ 0」（片方でも 0 でなければ「両方 0」は崩れる）。
「すべての x で x² ≧ 0」の否定は「ある x で x² < 0」。

逆・裏・対偶

p ⇒ q に対して

• 逆: q ⇒ p（真偽は元と一致しない）
• 対偶: q̄ ⇒ p̄（真偽は元と 必ず一致）

「証明しにくいときは対偶を証明する」のが高校数学の定番。

練習してみよう

1. A = {1, 3, 5, 7}、B = {3, 4, 5} → n(A ∪ B) = 5、n(A ∩ B) = 2
2. U = {1, …, 9}、A = {2, 4, 6} → n(Ā) = 6
3. 1〜60 の 2 または 5 の倍数 → 30 + 12 − 6 = 36
4. 「x > 3」は「x > 1」であるための → x > 3 ⇒ x > 1 真、逆偽 → 十分条件
5. 「x ≧ 1 または x ≦ −1」の否定 → −1 < x < 1

よくある間違い

• × n(A ∪ B) = n(A) + n(B) → 重なりを ひく
• × 必要と十分を逆にする → 矢印の 根元が十分、先が必要
• × 「かつ」の否定を「かつ」のまま → 「または」 に変わる
• × 「x > 3」の否定を「x < 3」→ 3 を含めて x ≦ 3

練習の前に

n(A ∪ B)、n(A ∩ B)、補集合の個数、倍数の個数、必要・十分（4 択）、否定（4 択）が 20 問。個数は整数。
必要・十分は「p ⇒ q は真か、q ⇒ p は真か」を 1 つずつ確かめる。