実数と絶対値

実数と絶対値 ― 数の全体像と「距離」の考え方

まず、身近なところから

小学校で整数・分数・小数、中学で負の数と √ を学んだ。これらを全部あわせた 数直線上のすべての点 を 実数 という。
この単元では「数の種類を整理する」「√ や循環小数を扱う」「絶対値を距離として使う」の 3 つを身につける。

数の分類

 実数 ─┬─ 有理数（分数 p/q で表せる）
       │    ├─ 整数（…, −2, −1, 0, 1, 2, …）
       │    ├─ 有限小数（0.75 = 3/4）
       │    └─ 循環小数（0.333… = 1/3）
       └─ 無理数（分数で表せない: √2、π）
            → 無限に続いて循環しない小数

• √16 = 4 は 整数（√ がついていても中身が平方数なら整数）
• 0.75 や 2/3 は有理数だが整数ではない
• √2 = 1.41421356…、π = 3.14159… は無理数

循環小数を分数に直す

0.333… を分数にしたい。x = 0.333… とおく。

   10x = 3.333…
 −   x = 0.333…
 ─────────────
    9x = 3      → x = 3/9 = 1/3

10 倍してひくと、無限に続く部分が消える。0.121212… なら 100x − x = 12 → 12/99 = 4/33。
繰り返しの長さ の分だけ 10 倍（1 桁なら 10 倍、2 桁なら 100 倍）。

√ の整数部分

√50 はいくつくらい？ 7² = 49 < 50 < 64 = 8² だから 7 < √50 < 8。整数部分は 7、小数部分は √50 − 7。
「√n をはさむ平方数を探す」のが手順。

分母が 2 項の有理化

中学では $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の分母・分子に √2 をかけた。分母が $\sqrt{3}+1$ のように 2 項のときは、符号を変えたもの（共役） をかける。

$$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

(a + b)(a − b) = a² − b² で √ が消えるのがポイント。分母は (√3)² − 1² = 2。

絶対値 ― 0 からの距離

$$|a|=\{\begin{array}{llc}a& amp;(a\ge 0)& \\ -a& amp;(a& lt;0)\end{array}$$

|a − b| は 2 点間の距離

 ─┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼─
 −4  −3  −2  −1   0   1   2   3
  └──────────── 7 ────────────┘

絶対値を含む方程式

例 1: |x − 2| = 5
「x と 2 の距離が 5」→ x は 2 から右に 5 か左に 5。
x − 2 = ±5 → x = 7、−3（大きい方は 7）

練習してみよう

1. |x + 3| = 4 の大きい方の解 → x + 3 = ±4 → x = 1, −7 → 1
2. |−6 − 2| → |−8| = 8
3. 0.777… を分数に → 7/9
4. √30 の整数部分 → 25 < 30 < 36 → 5
5. $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$ の分母を有理化したときの分母 → 5 − 4 = 1
6. √16 は？ → 整数

よくある間違い

• × |−5| = −5 → 絶対値は距離。5
• × |x − 2| = 5 の解を x = 7 だけ → x − 2 = −5 も解。x = −3
• × √16 を無理数に分類 → √16 = 4 で 整数
• × 有理化で (√3 + 1) をもう一度かける → 符号を変えた (√3 − 1) をかける

練習の前に

絶対値方程式の大きい方の解、|a − b|、循環小数 → 分数、√ の整数部分、有理化の分母、数の分類（4 択）が 20 問。
数は整数か分数（7/9 のように入力）。「絶対値 = 距離」と読みかえると迷わない。