数と式（展開・因数分解）

数と式（展開・因数分解）― 中学の公式を「係数つき・3 次・置きかえ」へ広げる

まず、身近なところから

中学では (x + 2)(x + 3) のように x の係数が 1 の式を扱った。高校では (2x + 1)(3x − 2) のように 係数がついた式、(x + 1)³ のような 3 乗、(x + y + 1)(x + y − 2) のような かたまりを含む式 が出てくる。
新しい公式を丸暗記するというより、「中学の公式がどう拡張されるか」を見ていく単元。

係数つきの展開 (ax + b)(cx + d)

分配法則で 4 つの積をたすのは中学と同じ。

 (2x + 3)(3x − 1)
   ↓ 2x·3x = 6x²
   ↓ 2x·(−1) = −2x
   ↓ 3·3x = 9x
   ↓ 3·(−1) = −3
 = 6x² + 7x − 3

一般形: (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd。x の係数は「外どうし + 内どうし」。

3 乗の公式

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² を地道に展開すると

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

係数は 1, 3, 3, 1。(x + 2)³ なら x³ + 6x² + 12x + 8（x² の係数は 3 × 2 = 6）。
あわせて a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)、a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) も因数分解で使う。

3 項の 2 乗

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a$
「各項の 2 乗」+「2 つずつの積の 2 倍」。

置きかえ ― かたまりを 1 文字にする

例 1: (x + y + 1)(x + y − 2)
x + y が両方にある。x + y = A とおくと (A + 1)(A − 2) = A² − A − 2。
A を戻して (x + y)² − (x + y) − 2 = x² + 2xy + y² − x − y − 2。
定数項だけ聞かれたら、置きかえた式の定数項 1 × (−2) = −2 でよい。

たすきがけ ― 係数つきの因数分解

例 2: 2x² + 7x + 3 を因数分解
x² の係数 2 = 1 × 2、定数項 3 = 1 × 3（または 3 × 1）。たすきにかけて x の係数 7 になる組を探す。

  1 ╲ ╱ 3   →  1·1 = 1
  2 ╱ ╲ 1   →  2·3 = 6     合計 7 ✓
 ─────────
 (x + 3)(2x + 1)

最初の組み合わせ（1 と 1、2 と 3 → 3 + 2 = 5）で合わなければ、定数項の並びを入れかえる。

対称式 ― x + y と xy だけで表す

x と y を入れかえても変わらない式（x² + y²、x³ + y³ など）は、和 x + y と積 xy で書ける。

x² + y² = (x + y)² − 2xy（(x + y)² = x² + 2xy + y² から 2xy を引く）
x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)

例 3　x + y = 5、xy = 3 のとき x² + y² → 25 − 6 = 19
x、y を個別に求めなくてよいのがポイント。

練習してみよう

$(3 x + 2) (2 x - 5)$ → 6x² − 15x + 4x − 10 → 6x² − 11x − 10
$(x + y + 3) (x + y - 4)$ の定数項 → 3 × (−4) = −12
$3 x^{2} + 10 x + 8$ を因数分解 → (1, 2)(3, 4): 1·4 + 2·3 = 10 ✓ → (x + 2)(3x + 4)
$(x - 3)^{3}$ の x² の係数 → 3 × (−3) = −9
x + y = 4、xy = −2 のとき x² + y² → 16 + 4 = 20

よくある間違い

× (x + 2)³ = x³ + 8 → まん中の 3a²b + 3ab² が抜けている。x³ + 6x² + 12x + 8
× たすきがけで x の係数を確かめない → 展開して 元に戻るか 必ず確認
× x² + y² = (x + y)² とする → − 2xy を忘れない
× 置きかえた A を戻し忘れる → 最後に 元の式 に戻す（定数項だけならそのままでよい）

練習の前に

係数付きの展開（式）、3 項の積の定数項、たすきがけ（4 択）、3 乗の展開の係数、対称式の値が 20 問。
式は 6x^2-11x-10 のように入力（^ で累乗。順番が違っても同値なら正解）。数は整数。