場合の 数 ― 「ぜんぶで 何通り？」を もれなく 数える
まず、身近な ところから
A・B・C の 3 人で リレーの 順番を 決める。何通り ある？
「A B C、A C B、B A C、…」と 書き出せば わかるけど、人数が ふえると 大変。
もれなく・重なりなく 数える コツを 学ぶのが この 単元です。
樹形図 ― 数えもれを ふせぐ 図
1 番目 2 番目 3 番目
A ──── B ──── C
└─── C ──── B
B ──── A ──── C
└─── C ──── A
C ──── A ──── B
└─── B ──── A
→ 6 通り1 番目に 3 人の どれか（3 通り）、2 番目は のこり 2 人（2 通り）、3 番目は のこり 1 人（1 通り）。
3 × 2 × 1 = 6 通り。樹形図で 数えて、かけ算で たしかめる。
ならべ方 ― 順番を 区別する
れい 1: 4 人が 1 列に ならぶ 4 × 3 × 2 × 1 = 24 通り
れい 2: 1、2、3 の カードで 2 けたの 整数
十の位 3 通り × 一の位 2 通り（十の位で 使った カードは 使えない）= 6 個（12、13、21、23、31、32）
れい 3: 5 人から 委員長と 副委員長を 1 人ずつ
委員長 5 通り × 副委員長 4 通り = 20 通り
（A が 委員長・B が 副 と、B が 委員長・A が 副 は ちがう。役が ちがうので 順番を 区別する）
組み合わせ ― 順番を 区別しない
れい 4: 4 人から 2 人を 選ぶ（順番は 関係ない）
ならべ方なら 4 × 3 = 12 通り。でも {A, B} と {B, A} は 同じ 組。
どの 組も 2 回ずつ 数えているので 2 で わる: 12 ÷ 2 = 6 通り
A─B A─C A─D
B─C B─D
C─D → 6 通り（表で 数えても 同じ）れい 5: 5 種類の おかしから 3 種類 選ぶ
「3 種類 選ぶ」= 「選ばない 2 種類を 決める」と 同じ。5 × 4 ÷ 2 = 10 通り
表と 裏
れい 6: コインを 3 回 投げる
1 回ごとに 表・裏の 2 通り。2 × 2 × 2 = 8 通り
ならべ方 か 組み合わせ か
順番・役が ちがえば 別 → ならべ方（かけるだけ）
れい: 1 列に ならぶ、2 けたの 数、委員長と 副委員長
順番は 関係ない → 組み合わせ（かけてから 重なりで わる）
れい: 2 人 選ぶ、3 種類 選ぶれんしゅう してみよう
- 5 人が 1 列に → 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
- 1〜4 の カードで 2 けたの 整数 → 4 × 3 = 12
- 6 人から 2 人 選ぶ → 6 × 5 ÷ 2 = 15
- コインを 4 回 → 2 × 2 × 2 × 2 = 16
- 4 人から 委員長と 副委員長 → 4 × 3 = 12
よくある まちがい
- ✕ 「2 人 選ぶ」で 4 × 3 = 12 と こたえる → 選ぶだけなら 組み合わせ。÷ 2 で 6
- ✕ 委員長・副委員長を 組み合わせに して ÷ 2 → 役が ちがうので ならべ方。わらない
- ✕ 2 けたの 数で 同じ カードを 2 回 使う（11、22）→ 1 まいの カードは 1 回だけ
れんしゅうの まえに
ならべ方、2 けたの 数、組み合わせ、コイン、委員の 選び方 が 20 問 出ます。こたえは 数字で。
まず「順番を 区別するか」を 決めてから 式を 立てよう。