分数のかけ算・わり算

分数のかけ算・わり算 ― かけ算はそのまま、わり算はひっくり返す

まず、身近なところから

1 本 $\frac{2}{3}$ L のジュースが 4 本 → ぜんぶで $\frac{2}{3} \times 4$ L。
$\frac{2}{3}$ L のジュースを $\frac{1}{3}$ L ずつコップに分けると何ばい？ → $\frac{2}{3} \div \frac{1}{3}$ ばい。
分数のかけ算・わり算は、たし算とちがって 通分はいらない。ルールは 2 つだけです。

かけ算: 分子どうし・分母どうしをかける

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$

 2/3 の さらに 4/5 は？

 ┌──┬──┬──┐
 │■ │■ │  │  ← 2/3（たてに 3 等分 して 2 つ）
 └──┴──┴──┘
 それを よこに 5 等分 して 4 つ 取る → ますは 3 × 5 = 15 こ、色つきは 2 × 4 = 8 こ → 8/15

分母どうしをかけると「ぜんぶのますの数」、分子どうしをかけると「色つきのますの数」になる。だから分子は分子と、分母は分母と。

整数をかける ときは、整数を分子にかける（整数は分母 1 の分数）:
$\frac{2}{3} \times 4 = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3}$

わり算: わる数をひっくり返してかける

分母と分子を入れかえた数を逆数という（ $\frac{3}{4}$ の逆数は $\frac{4}{3}$ 、4 の逆数は $\frac{1}{4}$ ）。
わり算は、わる数の逆数をかける 計算に変えられる。

$\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

整数でわる ときは、整数を分母にかける:
$\frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3 \times 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

なぜひっくり返すの？

「 $\frac{1}{2}$ でわる」= 「 $\frac{1}{2}$ がいくつ入るか」。3 ÷ $\frac{1}{2}$ なら、3 の中に半分は 6 こ入る → 3 × 2 = 6。
つまり $\frac{1}{2}$ でわることは 2 倍することと同じ。「 $\frac{1}{2}$ の逆数 = 2 をかける」になっている。
$\frac{4}{5}$ でわるのも同じ理屈で、 $\frac{5}{4}$ をかける。

とちゅうで約分するとらく

$\frac{3}{4} \times \frac{2}{9}$ → かける前に 3 と 9、2 と 4 を約分:
$\frac{3 ^{1}}{4 ^{2}} \times \frac{2 ^{1}}{9 ^{3}} = \frac{1}{6}$
先にかけて $\frac{6}{36}$ にしてから約分しても同じこたえ。数が小さいほうが計算ミスがへる。

れんしゅうしてみよう

$\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = ?$ 　→ $\frac{6}{35}$
$\frac{5}{6} \times 3 = ?$ 　→ $\frac{15}{6}$ = $\frac{5}{2}$
$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = ?$ 　→ $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2}$ = $\frac{15}{8}$
$\frac{4}{7} \div 2 = ?$ 　→ $\frac{4}{14}$ = $\frac{2}{7}$

よくあるまちがい

✕ かけ算なのに通分する → 通分は たし算・ひき算だけ。かけ算はそのまま分子どうし・分母どうし
✕ わり算でわられる数のほうをひっくり返す → ひっくり返すのは わる数（後ろ） だけ
✕ $\frac{2}{3} \div 4$ で分子を 4 でわろうとする → 整数でわる = 分母にかける

れんしゅうのまえに

分数 × 分数、分数 × 整数、分数 ÷ 分数、分数 ÷ 整数が 20 問出ます。こたえは分数で（約分してもしなくても正解。れい: 8/15）。
わり算は「ひっくり返してかけ算」に書き直してから計算しよう。