約数と倍数

約数と 倍数 ― 数の 「わりきれる」「かけて できる」関係

まず、身近な ところから

12 こ の クッキーを 同じ数ずつ 分ける。1 人・2 人・3 人・4 人・6 人・12 人 なら ぴったり 分けられるけど、5 人だと あまる。
この「ぴったり 分けられる 数」が 12 の 約数 です。
反対に、3 こ入りの パックを 買っていくと クッキーは 3・6・9・12・… と ふえる。これが 3 の 倍数。

約数 ― わりきれる 数

12 の 約数: 12 を わりきれる 整数 → 1, 2, 3, 4, 6, 12 の 6 個

さがし方の コツは ペアで さがす:

 1 × 12
 2 × 6
 3 × 4
 → 1, 2, 3, 4, 6, 12

かけて 12 に なる ペアを 小さい ほうから。3 × 4 の 次は 4 × 3 で 折り返すので、ここで 終わり。もれなく 見つかる。

れい: 18 の 約数　1 × 18、2 × 9、3 × 6 → 1, 2, 3, 6, 9, 18 の 6 個
れい: 7 の 約数　1 × 7 だけ → 1, 7 の 2 個

倍数 ― かけて できる 数

3 の 倍数: 3 × 1, 3 × 2, 3 × 3, … = 3, 6, 9, 12, 15, …
「3 の 倍数の 5 番目」は 3 × 5 = 15。倍数は いくらでも つづく。

最大公約数 ― 共通の 約数で いちばん 大きい

12 と 18 の 両方を わりきれる 数は？

 12 の 約数: 1, 2, 3, 4, 6, 12
 18 の 約数: 1, 2, 3, 6, 9, 18
 共通:       1, 2, 3, 6  → いちばん 大きい 6

最大公約数は 6。「12 こ と 18 こ を 同じ数の 人に あまりなく 分けるとき、最大 何人か」が これ。

最小公倍数 ― 共通の 倍数で いちばん 小さい

4 と 6 の 両方の 倍数は？

 4 の 倍数: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
 6 の 倍数: 6, 12, 18, 24, …
 共通:      12, 24, …  → いちばん 小さい 12

最小公倍数は 12。コツ: 大きい ほうの 倍数 を 順に 書いて、小さい ほうで わりきれる 最初の 数を さがす（6, 12 → 12 は 4 で わりきれる）。
「4 分おきの バスと 6 分おきの バスが 次に 同時に 出るのは 何分後？」が これ。

素数 ― 約数が 2 個だけの 数

1 と その数 自身 以外に 約数が ない 数。
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …

• 1 は 素数では ない（約数が 1 個しか ない）
• 2 は ただひとつの 偶数の 素数（ほかの 偶数は 2 で わりきれる）
• 見分け方: 2, 3, 5, 7 で わってみて、どれでも わりきれなければ 50 までなら 素数

れんしゅう してみよう

1. 20 の 約数は 何個？ → 1×20, 2×10, 4×5 → 6 個
2. 24 と 36 の 最大公約数は？ → 共通の 約数 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 12
3. 6 と 8 の 最小公倍数は？ → 8, 16, 24 → 24 は 6 で わりきれる → 24
4. 7 の 倍数の 4 番目は？ → 7 × 4 = 28
5. 9, 15, 21, 23 のうち 素数は？ → 9 = 3×3、15 = 3×5、21 = 3×7 → 23

よくある まちがい

• ✕ 約数を 数えるとき 1 と その数 自身を わすれる → 1 と 自分 も 約数
• ✕ 最小公倍数を 2 つの 数を かけた 数と 思う（4 と 6 → 24）→ 24 も 公倍数だが 最小 は 12
• ✕ 1 や 9 を 素数と 思う → 1 は 約数が 1 個、9 は 3 で わりきれる

れんしゅうの まえに

約数の 個数、最大公約数、最小公倍数、素数（えらぶ）、倍数の N 番目 が 20 問 出ます。こたえは 数字で。
約数は ペアで 書き出し、倍数は 順に 書き出して 数えよう。